La théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann.

Axiomes de la théorie des ensembles, dans l'article de Zermelo Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, traduit en anglais dans ., numérotés comme dans cet article.

Les axiomes de Zermelo sont exprimés pour un (en allemand : Bereich ) qui est une collection de « choses »Zermelo parle d'une collection « d'objets » (Objekte) qu'il appelle « choses » (Dinge), mais la répétition du mot « chose » dans tout ce paragaphe ne serait pas très bien venue en français ; on a évité ici le mot « élément » qui prend, tout de suite après, un sens précis. appelées objets ; certains de ces objets, mais pas nécessairement tous, sont appelés ensembles  (les versions ultérieures de la théorie des ensembles partent le plus souvent du principe que tous les objets sont des ensembles). Zermelo introduit une relation d'appartenance, qu'il note par la lettre epsilon : ; cette relation se lit : a est élément de b, ou b contient a comme élément ; Zermelo écrit pour signifier que désignent le même objet du domaine. À une seule exception près (l'ensemble vide de ci-dessous), un objet b du est appelé ensemble quand et seulement quand il contient au moins un objet a comme élément, c'est-à-dire quand il existe un objet a du domaine tel que . Un ensemble M est appelé sous-ensemble d'un ensemble N quand tous les éléments de M sont aussi éléments

Voici la liste des sept axiomesdans l'article , la liste n'est pas présentée comme ici : elle est entrecoupée de remarques et conséquences ; la présentation des axiomes s'étend de la page 263 à la page 267. que le doit satisfaire. On a respecté dans la mesure du possible les notations de l'article de Zermelo en 1908.

Axiome I. Axiome d'extensionnalité (Axiom der Bestimmtheit) Axiome II. Axiome des ensembles élémentaires (Axiom der Elementarmengen) (Voir Axiome de la paire). Axiome III. Axiome de séparation (ou axiome de compréhension, Axiom der Aussonderung) Axiome IV. Axiome de l'ensemble des parties (Axiom der Potenzmenge) Axiome V. Axiome de la réunion (Axiom der Vereinigung) Axiome VI. Axiome du choix (Axiom der Auswahl) Axiome VII. Axiome de l'infini (Axiom des Unendlichen)

Entre les axiomes, Zermelo tire les premières conséquences : il existe un « plus petit » ensemble Z0 qui vérifie les propriétés énoncées dans l'axiome VII de l'infini, au sens que Z0 est sous-ensemble de tout ensemble Z qui satisfait ; cet ensemble Z0 jouera le rôle de l'ensemble des entiers naturels ; dans ce point de vue, est l'ensemble , est le , et plus généralement le successeur de l'entier représenté par un ensemble n est l'ensemble singleton {n} ; par exemple, est représenté par , ensemble dont le seul élément est qui représente .

Autre conséquence directe des axiomes : si M et N sont deux ensembles, l'axiome de la réunion appliqué à l'ensemble paire {M, N} produit la réunion habituelle M ∪ N de ces deux ensembles. Dans les travaux plus récents, on a préféré définir le successeur de l'entier n (qui est déjà un ensemble) comme étant la réunion n ∪ {n} de l'ensemble n et du singleton {n} ; l'axiome de l'infini est alors modifié en conséquence.

L'axiome de séparation

Dans l'introduction de son article, Zermelo écrit que l'existence même de la discipline de la théorie des ensembles . Zermelo fait bien sûr référence au paradoxe de Russell. On ne peut plus s'en tenir à la définition d'origine de Cantor.

Zermelo veut montrer comment la théorie originelle de Georg Cantor et Richard Dedekind peut être réduite à quelques définitions et aux sept principes ou axiomes. Il signale qu'il n'a pas été en mesure de prouver que les axiomes sont cohérents les uns avec les autres, c'est-à-dire qu'ils n'entraînent pas une contradiction du type 0=1, en d'autres termes que son système d'axiomes est non-contradictoire. Zermelo explique que l'axiome III de son système permet l'élimination des antinomies : .

Zermelo se débarrasse du paradoxe de Russell par le biais du théorème suivantC'est le point 10. de . : .

En notation actuelle, soit le sous-ensemble de qui est "séparé" par la propriété (c'est-à-dire défini comme sous-ensemble de par l'axiome III). L'ensemble ne peut pas être élément de , sinon contiendrait un élément tel que , à savoir lui-même, ce qui est absurde d'après la définition de qui implique qu'aucun de ses éléments n'ait cette propriété.

On voit ensuite que ne peut pas être élément de  : sinon, puisqu'on a vu que , l'ensemble serait un élément de qui remplirait la condition , on aurait donc ce qui est une contradiction.

Par conséquent, ne peut pas être élément de , ce qui prouve le théorème.

Il en résulte que tous les objets du domaine universel B ne peuvent être éléments d'un seul et même ensemble : le domaine B lui-même n'est pas un ensemble. Le domaine B est d'une autre nature mathématique, qui renvoie à la notion de classe.

Théorème de Cantor

L'article de Zermelo présente sous le nom de théorème de Cantor () un résultat de ce dernier, repris dans Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, édité par E. Zermelo, 1932., dont c'est peut-être la première mention sous ce nom. Zermelo définit « M est de cardinalité plus faible que N »M N, où se traduit plus littéralement par puissance., au sens strictement plus faible, noté , c'est-à-dire : l'ensemble M est équipotent () à un sous-ensemble de N, mais N ne l'est pas à un sous-ensemble , Définition 31. ; c'est essentiellement la définition de la subpotence stricte (il existe une injection de M dans N mais pas d'injection de N ). On note ici , comme on le fait de nos jours, l'ensemble des parties de , ensemble fourni par l'axiome IV.

.

Zermelo remarque d'abord que M est équipotent à l'ensemble des singletons formés sur ses éléments. Il montre ensuite que P(M) ne peut être équipotent à un sous-ensemble M0 de M (c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'injection de P(M) ). Zermelo le montre directement, mais c'est aussi une conséquence de ce qu'il n'existe pas de surjection de P(M) dans M (voir théorème de Cantor). La démonstration est essentiellement la même.

Évolution de la théorie axiomatique des ensembles

Le texte de Zermelo en 1908 ne propose pas d'ensemble, objet du , qui traduise la notion de paire ordonnée (a, b). La paire ordonnée (ou couple) peut servir à représenter une fonction f par l'intermédiaire de son graphe, formé des paires ordonnées de la forme (a, f(a)). La paire ordonnée apparaît en tant qu'ensemble chez Hausdorff en 1914, sec. 2.4, Hausdorff and Functions ; , réimpression chez Chelsea, New York, 1965., ce qui permet d'englober la notion de fonction dans celle d'ensemble, en assimilant fonction et graphe de fonction.

En 1922, Abraham Fraenkel affirme que la théorie de Zermelo présente des lacunes., qu'elle ne permet pas de définir certains ensembles dont l'existence serait naturelle. Il propose un nouvel axiome, l'axiome de remplacement (Ersetzungsaxiom) dont l'esprit est le suivant : si une correspondance F est bien définie sur le et associe à chaque objet du domaine un autre objet uniquement déterminé, alors pour tout ensemble a il existe un nouvel ensemble b dont les éléments d sont précisément les images d = F(c) des éléments c de a par la correspondance F. La même année, Thoralf Skolem en vient à des conclusions analogues, notamment le point 4 . ; de plus, Skolem précise clairement dans son article, point 2 de l'article. la notion de proposition bien définie restée encore vague chez Zermelo, dans l'énoncé de l'axiome III de « séparation ».

Dès 1923réimprimé en 1961, pages 24–33 de . Jean commence par une analyse de l'article de von Neumann, avant d'en proposer une traduction en anglais., von Neumann propose une nouvelle conception pour les nombres ordinaux de Cantor, que ce dernier avait définis à partir de l'abstraction du type d'ordre des ensembles bien ordonnés. Von Neumann envisage les ordinaux comme des ensembles spécifiques introduits grâce aux axiomes de la théorie des ensembles. Il commence avec l'ensemble , puis le singleton {0} pour , suivi de la paire : ainsi l'ordinal 2 contient 0 et 1 comme éléments ; après chaque ordinal n (qui est un ensemble) vient son successeur, défini comme étant la réunion n ∪ {n}. Sans aller plus loin dans la description, on peut ajouter que l'ordinal ω est le plus petit ordinal qui contient tous les ordinaux finis, c'est le premier ordinal infini, qui est suivi de ω+1 = ω ∪ {ω}, etc… Von Neumann développe par la suite, en utilisant l'axiome de remplacement, la puissante méthode de définition d'ensembles par induction ordinale, méthode qui tient toujours une bonne place dans les livres actuelspar exemple , chap. 2 , Définitions par induction sur les ordinaux. de théorie des ensembles.

En 1930, Zermelo propose un nouveau système d'axiomes qu'il désigne par ZF, en référence à lui-même et Fraenkel.. Ce système contient l'axiome de remplacement et l'axiome de fondation. Cependant, Zermelo ne se restreint pas au cadre de la logique du premier ordre, contrairement à Skolem Voir , sec. 3.2, Well-Foundedness and the Cumulative Hierarchy, ainsi que la longue analyse de l'article de Zermelo dans , §6. .. Comme en 1908, Zermelo permet l'existence d'Urelements, des objets du domaine qui ne sont pas des ensembles et ne contiennent pas d'éléments ; ces objets sont maintenant habituellement omis des théories des ensemblesCependant, se dit prêt à les admettre ; ils les appelle atomes..

Le système d'axiomes GBvoir par exemple ; voir aussi l'article sur le système NBG. (ou BG.), pour Gödel et Bernays, apparu avant 1940il est utilisé dans ., est une extension de ZF. Le langage de GB comporte des variables d'ensemble et des variables de classe (on peut penser que les variables de classe représentent certaines familles d'ensemblestelles que par exemple, l'univers entier (c'est le de , la collection de tous les ensembles x), ou bien la collection de toutes les paires ordonnées (x, y) pour lesquelles les ensembles x et y sont tels que x ∈ y.) ; cependant, les énoncés qui ne concernent que les ensembles et qui peuvent être démontrés dans GB peuvent aussi être démontrés dans ZF..

En 1966, le livre de Paul Cohen consacré à la preuve de l'indépendance de l'hypothèse du continu. présente la théorie ZF comme on le fait aujourd'hui.

Présentation moderne de la théorie des ensembles de Zermelo

La version moderne de la théorie des ensembles de Zermelo comprend les axiomes suivants ; , présente les mêmes six axiomes mais dans un autre ordre. :

axiome d'extensionnalité ; axiome de la paire ; axiome de la réunion ; axiome de l'ensemble des parties ; axiome de compréhension (ou de séparation) ; axiome de l'infini, au point 3.17, s'en tient à la forme donnée par Zermelo en 1908 pour l'axiome de l'infini ; pour cet axiome, , Comparaison des théories Z et ZF ou ne font pas de différence entre Z et ZF..

L'axiome du choix n'en fait pas partie. Cependant, comme il est très difficile de faire des mathématiques sans une forme minimale de choix, on ajoute souvent une forme dénombrable de choix, l'axiome du choix dépendant, section 8.13..