En optique ondulatoire, la théorie de Mie, ou solution de Mie, est une solution particulière des équations de Maxwell décrivant la diffusion élastique – c'est-à-dire sans changement de longueur d'onde – d'une onde électromagnétique plane par une particule sphérique caractérisée par son diamètre et son indice de réfraction complexe. Elle tire son nom du physicien allemand Gustav Mie, qui la décrivit en détail en 1908. Le travail de son prédécesseur Ludvig Lorenz est aujourd'hui reconnu comme « empiriquement équivalent » et l'on parle parfois de la théorie de Lorenz-Mie. Elle reçut de nombreux apports du physicien Peter Debye dans les années qui suivirent.
La théorie de Mie s'applique par exemple à des gouttes d'eau de taille macroscopique impliquées dans des phénomènes optiques météorologiques tels que la formation des arcs-en-ciel, des couronnes ou des gloires, mais on peut également l'appliquer à des particules microscopiques telles que des molécules, en remplaçant l'indice de réfraction par la polarisabilité de la molécule grâce à l'équation de Lorentz et Lorenz. Le cas des petites particules correspond à la diffusion de Rayleigh qui donne les mêmes résultats que la théorie de Mie jusqu'à des rayons de l'ordre de . Pour les plus grandes particules, la théorie exacte de Mie s'écarte notablement des résultats de Rayleigh. On parle ainsi de diffusion de Mie pour décrire les phénomènes qualitativement différents observés dans le cas de sphères de taille comparable ou supérieure à la longueur d'onde .
Historique Dans son article de 1908, Mie étudie la diffusion de la lumière par des petites sphères d'or en solution (aujourd'hui on parlerait de nanoparticules), expliquant ainsi pourquoi des sphères de différents diamètres donnent des couleurs différentes. Étant un physicien théoricien, il s'attache cependant à trouver une solution générale à la diffusion de particules sphériques, que celles-ci soient métalliques ou diélectriques, en se plaçant dans le cadre de l'électromagnétisme précédemment formulé par Maxwell. Il se place ainsi dans l'étude de la diffusion des ondes, qui « a une histoire à laquelle ont contribué certains des plus grands noms de la physique mathématique de la fin du et du début du ».
En décrivant la distribution de charge portée par la sphère par un simple dipôle, Lord Rayleigh a pu expliquer simplement à partir de 1871 la diffusion par des particules de taille plus petites que la longueur d'onde. La diffusion de Rayleigh qui porte son nom peut d'ailleurs être retrouvée en ne retenant que les premiers termes dans le développement multipolaire donné par la théorie de Mie. La théorie de Mie est donc plus générale, mais il est maintenant établi que le problème de la diffusion par une sphère a été résolu plusieurs fois de manière indépendante, et ce avant même le travail de Mie. En particulier, Alfred Clebsch l'a résolu dans un mémoire de 1863 dans le cas des , et Ludvig Lorenz s'est appuyé sur les résultats de Clebsch pour les appliquer en 1890 à la diffusion des ondes électromagnétiques. Le travail de Lorenz a cependant eu peu de répercussions, notamment parce qu'il ne se plaçait pas dans le même formalisme que Maxwell (bien que sa théorie soit équivalente) et parce que son mémoire a été écrit en danois (bien qu'une traduction en français ait été disponible à partir de 1896). En 1909, un an après l'article de Mie, Peter Debye simplifia la dérivation du développement multipolaire du champ en introduisant des fonctions scalaires, maintenant appelées potentiels de Debye, dont dérivent les champs électriques et magnétiques. Mie ne connaissait probablement pas le travail de Lorenz et la raison pour laquelle l'histoire a retenu son nom est que son article fournissait un guide complet pour les études futures, et parce qu'il avait avancé les calculs numériques plus loin que les auteurs précédents.
En effet, pour calculer les coefficients de diffusion, il est nécessaire d'évaluer des fonctions spéciales telles que les fonctions de Riccati-Bessel et leurs dérivées. Avant l'arrivée des ordinateurs, ces calculs représentaient un travail énorme. Aussi, et bien que ses contemporains reconnaissent le travail de Mie, son article est resté en grande partie ignoré jusque dans les années 1950 qui virent un intérêt grandissant dans l'étude des colloïdes. Plusieurs monographies ayant marqué le domaine datent de cette période de réappropriation de la théorie de Lorenz-Mie, comme celles de van de Hulst en 1957, de Kerker en 1969 ou de Bohren et Huffman en 1983. Même après l'arrivée des ordinateurs, il a fallu développer des codes fiables et efficaces pour le calcul des coefficients de diffusion. De tels codes sont disponibles depuis le début des années 1970 et l'on peut maintenant calculer facilement sur un ordinateur personnel la diffusion par des sphères de paramètre de taille supérieurs à . Des programmes sont disponibles en cliquant sur les liens de la section Liens externes en bas de cet article.
Géométrie de la diffusion vignette|Notations utilisées dans l'article.
Dans la diffusion de la lumière résolue par la théorie de Mie, une onde plane monochromatique de vecteur d'onde se propage dans un milieu d'indice de réfraction . Cette onde incidente rencontre une sphère de rayon et d'indice de réfraction . À la suite de l'interaction une onde est réfléchie, ou plus exactement diffusée par la sphère dans tout l'espace. Pour connaître son amplitude en un point situé à l'extérieur de la sphère, on repère celui-ci en coordonnées sphériques . Comme le montre le schéma ci-contre où , le problème est invariant par rotation selon l'angle tant que l'on ne considère pas la polarisation de l'onde. On peut donc choisir soit de partir d'une polarisation fixée et de laisser variable – c'est ce qui est fait dans la dérivation de la solution de Mie – soit considérer que est nul et utiliser une polarisation variable – c'est ce qui est fait dans l'exploitation des résultats.
Le plan de diffusion est le plan donné par la direction de et par la direction d'observation . Il correspond donc au plan du schéma et permet de repérer la polarisation de l'onde. Une polarisation est dite perpendiculaire si elle est orientée selon et parallèle si elle est dans le plan du schéma. Si l'on connaît les amplitudes de diffusion pour ces deux polarisations, notées respectivement et , il est possible de prévoir la diffusion pour n'importe quelle polarisation incidente en la décomposant sur ces deux polarisations de base.
Outre la polarisation de l'onde, la diffusion est entièrement déterminée par le paramètre de taille et le rapport d'indice définis par :
Section efficace de diffusion vignette|droite|upright=1.5|Efficacité de diffusion en fonction du paramètre de taille pour un rapport d'indice entre les deux matériaux – correspondant à une sphère d'eau dans l'air. L'insert montre la même courbe en échelle logarithmique, mettant en évidence la loi de puissance pour les sphères de petite taille.
La sphère a une dimension finie alors que l'onde plane incidente a une extension en théorie infinie. La section efficace de diffusion permet de caractériser l'interaction entre les deux. Elle est définie comme le rapport entre la puissance diffusée (en watts) et l'irradiance de l'onde incidente (en W⋅m). Intuitivement, l'ombre portée par une sphère opaque de rayon est de surface , aussi on compare souvent la section efficace de diffusion avec cette section droite en définissant l'efficacité de diffusion :
Le graphique de droite montre l'efficacité de diffusion calculée pour un rapport d'indice de 1,33 entre la particule et le milieu. Il permet de montrer plusieurs caractéristiques de la diffusion de Mie. Après une augmentation de à , l'efficacité de diffusion tend asymptotiquement vers 2 par des oscillations amorties. À ces oscillations de grande période se superposent des pics étroits répartis irrégulièrement. Ces caractéristiques sont présentées plus en détail ci-dessous.
Petites sphères – diffusion Rayleigh
Pour les petites sphères (région ), l'efficacité de diffusion augmente très rapidement de manière proportionnelle à . On retrouve là les résultats de la diffusion Rayleigh, qui donnent pour cette région :
La diffusion Rayleigh est un cas limite de la diffusion de Mie. Néanmoins, elle en diffère par plusieurs aspects perceptibles lorsqu'on les compare pour des particules de tailles très différentes. On peut apprécier la différence entre la diffusion Rayleigh et la diffusion Mie en observant le ciel : pour les molécules qui constituent l'atmosphère, la première explique la couleur bleue du ciel ; pour les gouttelettes d'eau qui forment les nuages, la seconde explique leur couleur blanche.
En effet, pour l'air, la sphère à considérer est la sphère moyenne occupée par une molécule du gazOn peut le voir en rapprochant les équations 10.11 et 10.34 du livre de . Le volume correspondant est le volume molaire divisé par le nombre d'Avogadro., qui est de rayon . Le spectre visible se situe donc entre pour le rouge et pour le bleu, donc précisément dans la région de la diffusion Rayleigh. À cause de la puissance 4, le bleu sera 16 fois plus diffusé que le rouge, donnant la couleur du ciel. Pour les nuages, les gouttes d'eau sont beaucoup plus grosses, de l'ordre de , aussi le spectre visible s'étale entre et . Comme le montre le graphique, dans cette région l'intensité diffusée sera essentiellement la même pour toutes les longueurs d'onde et le nuage paraîtra blanc, ou gris dans les régions plus épaisses « Grundlagen der atmosphärischen Optik »..
Oscillations larges – structure d'interférences vignette|Efficacité de diffusion en fonction du paramètre de taille x et du rapport d'indice m. Entre les très petites et les très grandes valeurs de x, l'efficacité de diffusion oscille en fonction de x, avec une période de l'ordre de 10 dans l'exemple précédent de la goutte d'eau. Ces oscillations peuvent également donner lieu à des phénomènes météorologiques surprenants, comme l'observation inhabituelle d'un soleil bleu dans le nord de l'Europe le et les jours suivants. L'explication de ce phénomène a pu être trouvée : à la suite de grands feux ayant eu lieu en Alberta les jours précédents, des gouttes d'huile micrométrique ont été poussées dans la haute atmosphère jusqu'en Europe. Le spectre réalisé en Écosse s'accorde bien avec la théorie de Lorenz-Mie si la taille des particules permet au premier minimum d'oscillation de se trouver à , dans le bleu du spectre. Au lieu d'être 16 fois plus diffusé comme dans la diffusion Rayleigh, le bleu est alors 2 fois moins diffusé et le soleil apparaît bleu.
L'image ci-contre montre comment évolue l'efficacité de diffraction, non seulement avec le paramètre de taille, mais aussi avec le rapport d'indice m entre la sphère et le milieu environnant. Un développement limité à partir de la théorie de Mie, valable pour les grands paramètres de taille, montre que les maxima ont lieu approximativement pour
Les courbes correspondantes sont tracées en noir sur la figure. On voit que cette approximation donne la bonne période, mais qu'il y a un léger décalage dû aux valeurs modérées de x sur cette figure. L'interprétation physique simple est que ces oscillations correspondent aux interférences entre l'onde ayant traversé la sphère et celle étant passée à côté. En effet, le déphasage entre les deux est justement donné par .
Grosses sphères – paradoxe de l'extinction Dans la limite des grosses sphères, il peut paraître surprenant que la section efficace d'extinction ne tende pas simplement vers la section droite de la sphère, mais vers le double de cette valeur. Intuitivement, on ne s'attend en effet pas à ce qu'un gros objet, pour lequel l'optique géométrique est valable, retire de l'onde 2 fois la puissance qu'il reçoit. Ce résultat, appelé paradoxe de l'extinction est général et valable que l'indice de réfraction de la sphère soit réel – auquel cas – ou complexe.