En théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée cq(n), est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule : , où le pgcd est le plus grand commun diviseur. La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q.
Srinivasa Ramanujan fit une publication sur le sujet en 1918Ramanujan, « On Certain Trigonometric Sums ».. Les sommes de Ramanujan interviennent de façon récurrente en théorie des nombres, par exemple dans la preuve du théorème de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiersNathanson, ch. 8..
Notations Pour 2 nombres entiers a et b, se lit "a divise b", et signifie qu'il existe un entier c tel que b = ac. De même, se lit "a ne divise pas b".
Le symbole de sommation
signifie que d passe par tous les diviseurs positifs de m, par ex.
est le plus grand diviseur commun,
est l'indicatrice d'Euler,
est la fonction de Möbius et
est la fonction zêta de Riemann.
Des formules pour cq(n)
Formules trigonométriques Ces formules proviennent de la formule d'Euler et des identités trigonométriques élémentaires.
et ainsi de suite (, , , , ...). Cela montre que cq(n) est toujours un nombre réel (algébrique, comme somme de racines de l'unité).
Formule de Kluyver Posons est donc une solution de l'équation . Chacune de ses puissances ζq, ζq2, ... ζqq = ζq0 = 1 est également une solution, et puisque ces q nombres sont distincts, ce sont toutes les solutions de l'équation. Les ζqn où 1 ≤ n ≤ q sont appelées les racines q-èmes de l'unité. est appelée une racine primitive, parce que la plus petite valeur de n telle que ζqn = 1 est q. Les autres racines primitives sont les , où a et q sont premiers entre eux. Donc, il y a φ(q) racines primitives q-ièmes de l'unité.
La somme de Ramanujan cq(n) est somme de puissances n-ièmes des racines primitives q-ièmes de l'unitéHardy & Wright, Thms 65, 66.
Exemple. Supposons q = 12. Alors ζ12, ζ125, ζ127, et ζ1211 sont les racines primitives douzièmes de l'unité,
ζ122 et ζ1210 sont les racines primitives sixièmes de l'unité,
ζ123 = i et ζ129 = −i sont les racines primitives quatrièmes de l'unité,
ζ124 et ζ128 sont les racines primitives troisièmes de l'unité.
Par conséquent, si
est la somme de la n-ième puissance de toutes les racines primitives et imprimitives,
on a par la formule d'inversion de Möbius,
Il résulte de l'identité xq − 1 = (x − 1)(xq-1 + xq-2 + ... + x + 1) que
et cela conduit à la formule , publiée par Kluyver en 1906G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar et B. M. Wilson, notes to On certain trigonometrical sums..
Cela montre que cq(n) est toujours un entier ; cette formule est analogue à la formule classique sur l'indicatrice d'Euler :
Fonction arithmétique de Von Sterneck Il est facile de démontrer à partir de la définition que cq(n) est multiplicative, lorsqu'elle est considérée comme une fonction de q pour une valeur fixe de nSchwarz & Spilken (1994) , c'est-à-dire que :
À partir de la définition (ou de la formule de Kluyver), il est facile de prouver que, si p est un nombre premier,
et si pk est un nombre premier élevé à la puissance k où k > 1, alors :
Ce résultat et la propriété multiplicative peuvent être utilisés pour montrer que
Cette expression est appelée la fonction arithmétique de von SterneckB. Berndt, commentary to On certain trigonometrical sums.. L'équivalence de cette fonction et de celle de Ramanujan est due à HölderKnopfmacher, p. 196Hardy & Wright, p. 243.
Autres propriétés de cq(n) Pour tous les entiers positifs q,
Pour q fixé, les valeurs absolues des termes de la suite cq(1), cq(2), ... sont majorées par φ(q), et pour n fixé, les valeurs absolues des termes de la suite c1(n), c2(n), ... sont majorées par n.
Si q > 1
Posant m = ppcm(m1, m2), les sommes de Ramanujan satisfont une propriété d'orthogonalitéTóth, external links, eq. 6 :
Supposez n, k > 0. AlorsTóth, external links, eq. 17.
connu comme l'identité Brauer-Rademacher.
Si n > 0 et a est un entier, on a aussiTóth, external links, eq. 8.
Table
+ Somme de Ramanujan cs(n) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 2 4 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 5 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 −1 −1 −1 −1 4 6 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 1 −1 −2 −1 1 2 7 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 −1 −1 8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 9 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 0 0 −3 0 0 6 0 0 −3 10 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 1 −1 1 −1 −4 −1 1 −1 1 4 11 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 10 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 0 −2 0 2 0 4 0 2 0 −2 0 −4 13 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 12 −1 −1 −1 −1 14 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 1 −1 1 −1 −6 −1 1 −1 1 −1 1 6 1 −1 15 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 1 1 −2 1 −4 −2 1 1 −2 −4 1 −2 1 1 8 16 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 −8 0 0 0 0 0 0 17 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 16 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 0 0 3 0 0 6 0 0 3 0 0 −3 0 0 −6 0 0 −3 19 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 18 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 20 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 8 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −8 21 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −2 1 1 12 1 1 −2 1 1 −2 −6 1 −2 22 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −10 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 10 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 23 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 22 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 24 0 0 0 4 0 0 0 −4 0 0 0 −8 0 0 0 −4 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 4 0 0 25 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 −5 0 0 0 0 20 0 0 0 0 −5 26 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −12 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 12 1 −1 1 −1 27 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0 0 0 28 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 −12 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 −2 0 2 0 12 0 2 29 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 28 −130 −1 1 2 1 4 −2 −1 1 2 −4 −1 −2 −1 1 −8 1 −1 −2 −1 −4 2 1 −1 −2 4 1 2 1 −1 8
Développements de Ramanujan Si f(n) est une fonction arithmétique (c'est-à-dire une valeur complexe de la fonction des entiers ou des nombres naturels), alors une série infinie convergente de la forme :
ou de la forme:
où le , est appelé un développement de Ramanujan de f(n).
Ramanujan a trouvé les développements de beaucoup de fonctions bien connues de la théorie des nombres. Tous ces résultats sont prouvés de manière très "élémentaires" (c'est-à-dire uniquement à l'aide des manipulations de séries et de résultats simples sur la convergence)Ramanujan, On certain trigonometrical sums.La théorie formelle des séries de Dirichlet est abordée dans Hardy & Wright, § 17.6 et dans Knopfmacher.Knopfmacher, ch. 7, aborde les développements de Ramanujan comme un cas particulier de développement de Fourier dans un espace muni d'un produit scalaire pour lequel les fonctions cq sont une base orthonormée..
Le développement de la fonction nulle dépend d'un résultat de la théorie analytique des nombres premiers, à savoir que la série semi-convergente
a pour valeur 0, et les résultats pour r(n) et r'(n) dépend de théorèmes publiés dans un document antérieurRamanujan, On Certain Arithmetical Functions.
Toutes les formules présentées dans cette section sont tirées de la publication de Ramanujan de 1918.
Séries génératrices Les séries génératrices des sommes de Ramanujan sont des séries de Dirichlet :
est une série génératrice de la séquence cq(1), cq(2), ... où q est maintenue constante, et
est une fonction génératrice de la séquence c1(n), c2(n), ..., où n est maintenu constant.
Il y a aussi la double série de Dirichlet
σk(n) σk(n) est la somme de la k-ème puissance des diviseurs de n, y compris 1 et n. σ0(n), le nombre de diviseurs de n, est généralement écrit d(n) et σ1(n), la somme des diviseurs de n, est généralement écrit σ(n).
Si s > 0,
et
Mettons s = 1, nous avons alors
Si l'hypothèse de Riemann est vraie, et
d(n) d(n) = σ0(n) est le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même.
où γ = 0.5772... est la constante d'Euler-Mascheroni.
φ(n) L'indicatrice d'Euler φ(n) est le nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers entre eux à n. Ramanujan définit une généralisation si
est la factorisation premier de n, et s est un nombre complexe. Supposez
alors φ1(n) = φ(n) est l'indicatrice d'EulerC'est la fonction totient de Jordan, Js(n)..
Il prouve que
et il s'en sert pour montrer que
Supposez s = 1,
Remarquez que la constante est l'inverseCf. Hardy & Wright, Thm. 329, which states that de un dans la formule pour σ(n).
Λ(n) La fonction de Von Mangoldt sauf si n = pk est une puissance d'un nombre premier, auquel cas c'est le logarithme naturel log p. Ainsi, pour tout ,
Zéro Pour tout n > 0,
C'est l'équivalent du théorème des nombres premiersHardy, Ramanujan, p. 141.
r2s(n) (somme des carrés) r2s(n) est le nombre de manière de représenter n comme somme de 2s carrés, en comptant les différents ordres et signes (par ex., r2(13) = 8, 13 = (±2)2 + (±3)2 = (±3)2 + (±2)2.)
Ramanujan définit une fonction δ2s(n) et la référence dans une publication, dans lequel il prouve que r2s(n) = δ2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4. Pour s> 4, il montre que δ2s(n) est une bonne approximation de r2s(n).
s = 1 a une formule spéciale:
Dans les formules suivantes, les signes se répète avec une période de 4.
Si s ≡ 0 (mod 4),
Si s ≡ 2 (mod 4),
Si s ≡ 1 (mod 4) et s > 1,
Si s ≡ 3 (mod 4),
et donc,
r'2s(n) (sommes de nombres triangulaires) r'2s(n) est le nombre de façons de n peut être représenté comme la somme de 2s nombres triangulaires (c'est-à-dire le nombre 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; le n-ième nombre triangulaire est donnée par la formule n(n + 1)/2.)
L'analyse ici est similaire à celle pour les carrés. Ramanujan se réfère à la même publication qu'il a écrit sur les carrées, où il a montré qu'il existe une fonction δ'2s(n) tel que r'2s(n) = δ'2s(n) pour s = 1, 2, 3, et 4, et que pour s > 4, δ'2s(n) est une bonne approximation de r'2s(n).
Encore une fois, s = 1, il faut une formule spéciale:
Si s est un multiple de 4,
Si s est le double d'un nombre impair,
Si s est un nombre impair et s > 1,
Par conséquent,
Sommes Supposez
Ensuite, pour ,
Notes et références
Voir aussi Bibliographie G. H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, AMS / Chelsea, 1999 John Knopfmacher, Abstract Analytic Number Theory, Dover, 1990 Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: the Classical Bases, vol. 164 de Graduate Texts in Mathematics, 1996 . C. A. Nicol, Some formulas involving Ramanujan sums, Canad. J. Math., vol. 14, 1962, Srinivasa Ramanujan, On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers, volume 22, issue 15 du journal Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1918, pages 259-276 Srinivasa Ramanujan, « On Certain Arithmetical Functions », Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22, , 1916, Ramanujan Srinivasa, Collected Papers, 2000 Wolfgang Schwarz, Jürgen Spilker, Arithmetical Functions. An introduction to elementary and analytic properties of arithmetic functions and to some of their almost-periodic properties, 1994, Cambridge University Press
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