En mathématiques, une variété est un espace topologique qui ressemble localement à l'espace euclidien près de chaque point.
D'une manière intuitive, on dira par exemple qu'un cercle est une variété de dimension 1 car le voisinage de chacun de ses points « ressemble », si on « zoome » suffisamment, à un segment de droite. Et une sphère est une variété de dimension 2 car le voisinage de chacun de ses points « ressemble » à un « morceau » de plan. Au contraire, une croix n'est pas une variété car le voisinage de son « croisement » n'est pas assimilable à un segment de droite..
Plus rigoureusement, une variété de dimension n est un espace topologique possédant la propriété que chaque point possède un voisinage homéomorphe à un sous-ensemble ouvert de l'espace euclidien n, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace euclidien.
On peut approcher les variétés de deux façons : en les construisant par recollement d'autres espaces simples, comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant ou comme on construit un vêtement en cousant ensemble des morceaux de tissus. Par exemple, les mathématiciens obtiennent un cercle en repliant un segment sur lui-même, un cylindre ou un cône en repliant une bande plane sur elle-même. Un autre exemple classique est le ruban de Möbius illustré ci-contre (en toute rigueur, c'est un exemple de variété à bord). Il est également possible de rajouter des anses à une sphère ; en leur appliquant une trame dont la métrique dépend de la position. Par exemple, pour les coordonnées sphériques terrestres (altitude, latitude et longitude), un changement de longitude correspond à une distance qui dépend de la latitude (un degré de longitude correspond à une distance plus longue à l'équateur qu'ailleurs). On parlera dans ce cas de variété riemannienne.
Il est difficile de dire qui le premier a étudié les courbes ou les surfaces en tant qu'objets mathématiques abstraits. Gauss disposait de la notion de surface abstraite, mais la notion générale de variété en dimension quelconque est due à Bernhard Riemann. Les variétés se sont imposées comme le cadre naturel de nombreux problèmes de mathématiques et de physique, permettant de travailler dans un cadre plus vaste que celui des espaces vectoriels. On donne parfois à ces derniers le nom d’espaces plats ou d’espaces euclidiens pour les distinguer des espaces courbes que sont les variétés.
La topologie algébrique cherche à classer les variétés (mais aussi des objets plus généraux) en en déterminant des invariants, c'est-à-dire des objets mathématiques — qui peuvent être des nombres réels — associés à chaque variété et qui en caractérisent la topologie. Certaines variétés sont munies de structures plus fortes : il est du ressort de la topologie différentielle, puis de la géométrie différentielle, de la géométrie riemannienne et de la géométrie symplectique de les étudier et de les classifier. Ces domaines sont encore aujourd'hui l'objet de nombreux travaux de recherches.
Les variétés constituent à la fois un cadre et un sujet d'étude communs pour les chercheurs en mathématiques et en physique. Elles se sont avérées les bons outils de travail pour formaliser la relativité générale d'Einstein et ont fortement servi dans la physique post-newtonienne, dont la théorie des cordes, la théorie des membranes… Les variétés sont devenues tout aussi utiles (voire indispensables) dans des travaux récents de mécanique classique. Les variétés sont à l'origine d'une hypothèse sérieuse pour expliquer les étonnantes capacités de généralisation des algorithmes d'apprentissage profond.
Introduction
Les difficultés qui existent pour représenter sur un plan une surface sphérique comme la Terre sont un bon moyen d'appréhender la géométrie différentielle. C'est aussi la raison pour laquelle le vocabulaire de cette branche des mathématiques emprunte beaucoup à celui de la cartographie.
Les cartes
On se déplace sur la sphère terrestre en utilisant des cartes géographiques planes, rassemblées en un atlas. Au bord d'une carte figure l'information nécessaire pour y « recoller mentalement » la carte suivante. Pour opérer ce recollement, une certaine redondance dans l'information est nécessaire : ainsi la carte de l'Europe et celle de l'Asie peuvent toutes deux contenir Moscou. De manière similaire, il est possible de décrire une variété en utilisant une collection de cartes, réunies en un atlas mathématique, indiquant comment passer d'une carte à l'autre. Le globe terrestre fournit un exemple typique de variété, puisqu'il peut être représenté par une collection de cartes géographiques.
Une carte est une portion de la variété analogue à une portion d'espace vectoriel ; les changements de cartes indiquent comment ces portions de variétés se raccordent entre elles. Ainsi, pour décrire un cercle il est possible de prendre comme cartes deux arcs qui se chevauchent ; le changement de cartes constitue une information sur le recollement au niveau de la zone de chevauchement.
Il n'est généralement pas possible de décrire une variété à l'aide d'une seule carte, parce que la structure globale de la variété est différente de la structure simple de l'espace modèle. Par exemple, aucune carte « plate » ne peut décrire convenablement la Terre entière. Les variétés apparaissent comme des espaces topologiques et leurs topologies sont uniquement déterminées par la donnée de leurs atlas respectifs.
Suivant la nature des applications de changement de cartes, la variété possède une structure plus ou moins forte : variété topologique, variété différentielle, variété localement plate par exemple. Pour une variété topologique, la donnée d'un atlas équivaut simplement à la donnée d'une topologie dont les ouverts suffisamment petits s'identifient à l'espace plat. Pour les structures plus fines citées, l'introduction de cartes est indispensable pour les définir.
La dimension et la topologie
La première notion attachée à une variété est sa dimension. Elle désigne le nombre de paramètres indépendants qu'il faut se fixer pour positionner localement un point sur la variété. Les courbes sont des variétés de dimension un puisque l'abscisse curviligne par exemple suffit à décrire la position. Sur une surface, il faut deux coordonnées : ainsi sur une sphère il faudra préciser latitude et longitude, comme c'est le cas pour indiquer l'emplacement d'une ville sur le globe terrestre. Il existe de nombreuses variétés de dimension supérieure à deux, qu'il est difficile de représenter graphiquement. Elles ne peuvent en effet se représenter dans notre espace environnant, qui est de dimension trois (largeur, longueur, hauteur).
Toutes les variétés de même dimension n — ou n-variétés — ont la même topologie locale. Par définition, une petite portion de ces variétés ressemble toujours à un espace vectoriel réel de dimension n. Ainsi une petite portion de courbe est l'analogue courbe d'une droite, une petite portion de surface l'analogue courbe d'un plan, et ainsi de suite.
En revanche, les variétés se distinguent par leur aspect global. Par exemple sur la figure ci-contre, la variété rouge est formée de deux morceaux bornés (deux cercles), et il est visiblement impossible de déformer continûment celle-ci pour obtenir une des trois autres courbes.
Autre exemple, une sphère et un tore ne se ressemblent pas topologiquement. Tout cercle tracé sur une sphère la sépare en au moins deux morceaux disjoints ; cependant, il existe de nombreux cercles tracés sur un tore qui ne le séparent pas en morceaux disjoints. Plus généralement, la topologie peut se compliquer par la présence de « trous », d'« anses », etc.
Variété abstraite et sous-variété
De nombreux sous-ensembles particuliers du plan et de l'espace de dimension 3 peuvent être naturellement munis d'une structure de variétés : le cercle, le cylindre, la sphère, le ruban de Möbius, etc. ; on les appelle sous-variétés ou variétés plongées. Il existe en outre une notion de variété abstraite, qui sont construites sans qu'on les considère comme une sous-variété. L'exemple le plus simple est l'espace projectif de dimension n : c'est simplement l'ensemble de toutes les droites passant par l'origine dans un espace vectoriel de dimension n + 1. Un autre exemple de variété abstraite est la bouteille de Klein, représentée ci-contre de façon imparfaite. Pour mieux l'appréhender visuellement, il faut imaginer un artisan verrier prenant une bouteille ordinaire, perçant son fond, allongeant le goulot, le courbant et le faisant traverser le flanc de la bouteille pour le raccorder au fond (chose importante, le goulot passe à travers le flanc « comme par magie », sans y faire de trou). La bouteille de Klein peut être décrite par un système de cartes et de coordonnées représenté ici par un maillage de méridiens et de parallèles, elle est donc de dimension 2.
Le théorème de plongement de Whitney montre que toute variété abstraite de dimension n peut être réalisée comme sous-variété d'un espace de dimension suffisamment grande, à savoir de dimension 2n. Ainsi la bouteille de Klein (de dimension 2) ne peut être plongée dans l'espace à trois dimensions, mais forme une sous-variété de l'espace à quatre dimensions.
L'introduction des variétés abstraites peut paraître superfétatoire au premier abord. Cependant, il y a des avantages à s'affranchir de la considération de l'« espace ambiant », celui dans lequel serait plongée la variété. En particulier, de nombreux modes de construction de nouvelles variétés à partir de variétés déjà définies, à l'exemple des quotients et des recollements topologiques (voir plus loin), ne font intervenir que les variétés elles-mêmes, et (surtout) pas l'espace qui pourrait éventuellement les entourer. Quand bien même en théorie il est possible de les réaliser comme sous-variétés d'un espace vectoriel, il ne serait pas judicieux de le faire en pratique, et cela ne présenterait aucun intérêt.
Histoire
On se contente ici d'une esquisse du mouvement historique qui a conduit à l'émergence du concept général de variété ; pour une histoire plus détaillée de l'évolution et de l'application de ce concept dans diverses branches des mathématiques (ex : géométrie riemannienne, géométrie symplectique), on renvoie aux articles dédiés.
Premiers résultats de géométrie intrinsèque
Il est difficile de dater quand précisément les questions de géométrie intrinsèque intéressèrent particulièrement les géomètres. Les Grecs posaient des problèmes invoquant les propriétés métriques d'un ensemble de points définis et positionnés dans le plan et dans l'espace. L'intérêt était explicitement porté sur le point de vue extrinsèque.
On attribue traditionnellement à Euler la découverte en 1752 d'une propriété des polyèdres convexesLa paternité pourrait en être cependant attribuée à Descartes, voir l'article théorème de Descartes-Euler.. En notant respectivement S, A et F les nombres de sommets, arêtes et faces, il démontre l'identité S – A + F = 2, identité connue aujourd'hui sous le nom de relation d'Euler. Le résultat est d'autant plus surprenant qu'il ne fait intervenir ni les longueurs, ni les aires. Il est en fait encore valable pour les nombres de sommets, faces et arêtes d'une triangulation de la sphère. C'est le premier exemple de calcul de la caractéristique d'Euler d'une surface.