vignette|Division en tant que partage. Illustration de la division de 20 par 4 : partage d'un ensemble de 20 pommes en 4 parts égales. La division est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la multiplication. Dans une première approche, la division consiste à calculer combien de fois on peut mettre un nombre dans un autre. Par exemple, si l'on dispose de 20 pommes à distribuer à 4 personnes, il faut donner 5 pommes à chacun (on peut mettre 5 fois 4 pommes pour avoir 20 pommes). Le nombre que l'on divise (20 dans l'exemple) s'appelle le dividende. Nous l'avons divisé par 4 : il s'agit du diviseur. Le résultat s'appelle le quotient ou rapport (5 dans l'exemple).
En termes mathématiques, à deux nombres, le dividende et le diviseur , la division associe un troisième nombre (loi de composition interne), qui est le quotient. Selon la norme NF EN ISO 80000-2, le quotient de par se note :
(barre oblique, fraction en ligne) ; (fraction).
Selon la même norme, il convient de ne pas utiliser la notation (obélus).
Dans une première approche, on peut voir la quantité comme une séparation de la quantité en parts égales. Mais cette approche est surtout adaptée à la division entre nombres entiers, où la notion de quantité est assez intuitive. On distingue couramment la division « exacte » (celle dont on parle ici) de la division « avec reste » (la division euclidienne). D'un point de vue pratique, on peut voir la division comme le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction « division par ce nombre » est la réciproque de la fonction « multiplication par ce nombre ». Cela permet de déterminer un certain nombre de propriétés de l'opération.
De manière plus générale, on peut définir le quotient comme étant la solution de l'équation . Ceci permet d'étendre la définition à d'autres objets mathématiques que les nombres, à tous les éléments d'un anneau.
Problématique La division sert : à faire un partage équitable entre un nombre de parts déterminé à l'avance, donc à déterminer la taille d'une part. Par exemple : Question : Si on répartit équitablement de poudre de perlimpimpin entre huit personnes, combien chacune d'elles obtiendra-t-elle ? Réponse : , chacun obtient de poudre de perlimpimpin à déterminer le nombre de parts possible, d'une taille déterminée à l'avance. Par exemple : Question : Si on répartit de poudre de perlimpimpin par tranche de , combien de personnes pourra-t-on servir ? Réponse : , on pourra servir personnes et il restera de quoi servir de personne ().
La multiplication est également l'expression d'une loi proportionnelle. La division permet donc d'« inverser » cette loi. Par exemple, on sait qu'à un endroit donné, le poids (force qui tire un objet vers le bas, exprimée en newtons) est proportionnelle à la masse (quantité fixe, exprimée en kilogrammes), le coefficient de proportionnalité étant appelé « gravité » :
Un pèse-personne mesure la force qui lui est exercée, donc ; la gravité étant connue, on peut en déduire la masse d'une personne en inversant la loi par une division : . Dans le même ordre d'idées, dans le cas d'un mouvement rectiligne uniforme, la distance parcourue (en kilomètres) est proportionnelle au temps (en heures), le coefficient étant la vitesse moyenne (en kilomètres par heure) : . On peut inverser cette loi pour déterminer le temps qu'il faut pour parcourir une distance donnée à une vitesse moyenne donnée : .
De manière plus générale, la division intervient dans l'inversion d'une loi affine, c'est-à-dire du type
ce qui donne si est non nul
Par ailleurs, on peut approcher la plupart des lois par une loi affine en faisant un développement limité à . La division permet donc d'inverser une loi de manière approximative : si l'on connaît la valeur de et de sa dérivée en un point , on peut écrire « autour de ce point »
et ainsi inverser la loi :
Ceci est par exemple utilisé dans l'algorithme de Newton, qui recherche les zéros d'une fonction :
Vocabulaire et notations. Historique Le symbole actuel de la division est un trait horizontal séparant le numérateur (dividende) du dénominateur (diviseur). Par exemple, divisé par se note .
Le dénominateur donne la dénomination et le numérateur énumère : Ici, le dénominateur indique qu'il s'agit de quarts, et le numérateur qu'il y en a trois → trois quarts.
Diophante d'Alexandrie et les Romains, au écrivaient déjà des fractions sous une forme semblable, les Indiens également au et la notation moderne fut adoptée par les Arabes.
Le symbole « : » a été plus tard utilisé par Leibniz.
Les fabricants de calculatrices impriment l'obélus ou la barre oblique sur la touche « opérateur division ». L'utilisation de ces symboles est plus ambiguë que la barre de fraction, puisqu'elle demande de définir des priorités, mais elle est pratique pour l'écriture « en ligne » utilisée en imprimerie ou sur un écran.
Dans les publications scientifiques, on utilise plus volontiers les notations fractionnelles. La notation avec les deux-points est souvent utilisée pour représenter un rapport de quantités entières ou de longueurs.
Aujourd'hui en France, en classe de de collège, les notations , : et sont utilisées, car la division a pour les élèves un statut d'opération. Une nuance de sens est communément admise : et désignent une opération (non effectuée), et le vocabulaire approprié est dividende pour et diviseur pour ; et désignent l'écriture fractionnaire du résultat de cette opération, et le vocabulaire approprié est numérateur pour et dénominateur pour .
Mathématiques et langue française On peut diviser une entité en un nombre de parties dont l'addition donne cette entité, par un moyen implicite ou explicite.
Ainsi, on peut : diviser un gâteau en deux parts, par un coup de couteau simplement diviser un gâteau en deux [parts, par un moyen quelconque] diviser 1 en 2 demis, par la représentation mentale mathématique que l'on s'en fait simplement diviser 1 en etc.
On peut également diviser par dichotomie ou par malice, mais diviser par 2 est un concept mathématique : : « divisé par est égal à ».
Définition vignette|Technique de division avec des variables.
Approche élémentaire On commence par définir la division « avec reste » entre nombres entiers naturels. Cette division peut s'approcher de manière intuitive par la notion de « partage, distribution équitable », et donne une procédure de calcul.
Cette notion permet déjà de mettre en évidence le problème de la division par zéro : comment partager une quantité en 0 part ? Cela n'a pas de sens, il faut au moins une part.
Puis, on définit la notion de nombre décimal, et l'on étend la procédure de calcul en l'appliquant de manière récursive au reste, voir la section ci-dessous Division non abrégée. Cela permet de définir la notion de nombre rationnel.
La notion de partage convient encore mais est plus difficile à appréhender. On peut imaginer des portions de part, donc diviser par des nombres fractionnaires : diviser une quantité par (), c'est dire que la quantité initiale représente part, et donc trouver la taille d'une part complète. Diviser une quantité par un nombre négatif, cela revient à calculer la taille d'une part que l'on enlève.
Les nombres réels sont construits à partir des rationnels. Un nombre irrationnel ne peut pas se concevoir comme une quantité ; par contre, il peut se voir comme une proportion : le rapport entre la diagonale d'un carré et son côté, le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Dès lors, la division ne peut plus être définie comme un partage, mais comme la réciproque de la multiplication.
Avec cette définition, on ne peut toujours pas diviser par 0 : puisque pour tout nombre, il existe une infinité de réciproques. On peut aussi — puisque diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse — voir ce problème comme celui de la limite en 0 de la fonction inverse : elle a deux limites, à gauche et à droite.
Le fait « d'étendre » les nombres réels en incluant des « pseudo-nombres infinis », et (droite réelle achevée), ne règle pas le problème, puisque reste le problème du signe.
La notion de division est donc fondamentale en algèbre et en analyse.
Définition complète Étant donné un anneau intègre , la division sur est la loi de composition : , notée par exemple « », telle que , si et seulement si .
L'intégrité de l'anneau assure que la division a bien un résultat unique. Par contre, elle n'est définie que sur si et seulement si est un corps commutatif, et en aucun cas définie pour .
Si la division n'est pas définie partout, on peut étendre conjointement la division et l'ensemble : dans le cas commutatif, on définit sur une relation d'équivalence par
et on écrit la classe de dans l'anneau quotient. Cet anneau quotient est un corps dont le neutre est la classe 1 : 1. C'est ainsi que l'on construit en symétrisant pour la multiplication (ou à partir de en symétrisant l'addition).
Cette définition ne recouvre pas celle de division euclidienne, qui se pose de manière analogue mais dont le sens est radicalement différent.
Dans l'idée, elle sert aussi à inverser la multiplication (dans , combien de fois ).
Le problème de définition ne se pose plus, puisque , est une partie de non vide et majorée, qui admet donc un plus grand élément.
Cette division, fondamentale en arithmétique, introduit la notion de reste. Néanmoins, comme pour toutes les divisions, le de la définition ne peut être zéro.
Propriétés La division n'était pas à proprement parler une opération (loi de composition interne, définie partout), ses « propriétés » n'ont pas d'implications structurelles sur les ensembles de nombres, et doivent être comprises comme des propriétés des nombres en écriture fractionnaire.
Non-propriétés non commutative car non associative car
Remarques pseudo-élément neutre à droite : 1
pseudo-élément absorbant à gauche : 0
égalité de fractions de même dénominateur
en général (qui découle de la construction de )
ordre et sont dans le même ordre que et
Algorithmes de la division de nombres décimaux Division non abrégée vignette|200px|Division non abrégée de par .
L'algorithme de division non abrégée, encore appelé division longue, sert à déterminer une écriture décimale du quotient de deux nombres entiers. C'est une extension de la division euclidienne (voir Poser une division > Généralisation en arithmétique). D'un point de vue pratique, il consiste à continuer la procédure, en « descendant des zéros », les nouveaux chiffres calculés s'ajoutant après la virgule. Cela se justifie par
où n est le nombre de décimales que l'on veut. Ainsi, on ajoute zéros à droite du numérateur, on effectue une division euclidienne classique, puis sur le quotient obtenu, les derniers chiffres sont après la virgule.
Notons que l'on a intérêt à calculer la décimale pour savoir dans quel sens faire l'arrondi.
Par exemple, pour calculer avec deux décimales, la procédure revient à calculer ( , reste ) puis à diviser le résultat par (ce qui donne ).
Cette procédure se généralise au quotient de deux nombres décimaux ; cela se justifie par :
où est un entier positif tel que et soient des entiers ; on peut par exemple prendre le plus grand nombre de décimales dans les nombres et .
Deux situations peuvent se présenter : on finit par avoir un reste nul : on obtient donc un nombre décimal ; on finit par retomber par un reste qui est déjà apparu auparavant : la division « ne se termine pas », elle boucle à l'infini ; dans ce cas, le quotient est un rationnel non décimal, et on peut prouver que son développement décimal admet une période, dont la longueur est strictement inférieure au diviseur.