En théorie des groupes, le théorème de Cayley énonceSa preuve est très courte : que tout groupe se réalise comme groupe de permutations, c'est-à-dire comme sous-groupe d'un groupe symétrique :
Remarques
Si G est d'ordre n, le groupe S dans lequel il est plongé est d'ordre n!. Le théorème se reformule en disant que tout groupe agit fidèlement sur lui-même. L'action que l'on construit est en fait même simplement transitive.
Utilisations
Ce théorème est utilisé en théorie des représentations de groupes. Soient un groupe et une base d'un espace vectoriel de dimension ||, où ||est le cardinal de . Le théorème de Cayley indique que est isomorphe à un groupe de permutations des éléments de la base. Chaque permutation peut être prolongée en un endomorphisme de qui ici, par construction, est un automorphisme de . Cela définit une représentation du groupe : il s'agit de sa représentation régulière. Il intervient aussi dans une démonstration du premier théorème de Sylow.
Historique
Le théorème est habituellement attribué à Arthur Cayley et daté de 1854.. Cependant il est parfois aussi attribué à Camille JordanPar exemple dans ., qui l'a formulé et prouvé plus explicitement dans un traité en 1870.Ces remarques sur la paternité du théorème proviennent de l'introduction de . : les permutations t sont « régulières », c'est-à-dire que pour g ≠ e, t est sans point fixe et les cycles disjoints dont elle est produit sont tous de même longueur.
Notes et références
Articles connexes Lemme de Yoneda
Cayley