En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel non nul , en incluant parmi les diviseurs de les nombres 1 et . Elle est généralement notée ou (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore , comme cas particulier de fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs.

Définition Pour tout nombre naturel on définit : où indique la divisibilité de par . Les premières valeurs sont les suivantesPour plus de valeurs, voir la . : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Diviseurs de 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6

Propriétés On a l'identité suivante : où désigne la fonction partie entière. :

Si la décomposition en produit de facteurs premiers de est , alors, , 1975, , Th. 273. : . La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, que si et sont premiers entre eux, alors : . Un nombre est premier si et seulement si . Un nombre est un carré parfait si et seulement si est impair. est le double du nombre de diviseurs de entre 1 et , auquel il faut retrancher 1 si est un carré parfait, donc un majorant de est . La fonction génératrice de s'exprime comme série de Lambert : (pour ) La série de Dirichlet de est le carré de la fonction zêta de Riemann, Th. 289. : (pour )

Comportement asymptotique

Formule de Dirichlet vignette|300x300px|Représentation en bâtons de ; en rouge, de ; en bleu, de et ; et en vert, de . La fonction d est très irrégulière : elle prend la valeur 2 pour premier, et prend aussi des valeurs arbitrairement grandes (par exemple pour ) . Mais en moyenne de Cesàro : .

Ceci vient de la formule , dont on déduit : où est la série harmonique, puis l'encadrement :

. gauche|vignette|Représentation en rouge de ; en bleu, de l'ordre moyen ; et en vert, de 2, correspondant aux nombres premiers. Un développement plus précis est donné par, Th. 320.

(où est un symbole de Landau et la constante d'Euler-Mascheroni.)

Il a été démontré par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1849 ou ..

On en déduit qu'un ordre moyen pour est .

Problème des diviseurs de Dirichlet La recherche des valeurs de telles que

constitue le « ».

Des avancées ont été effectuées par Gueorgui Voronoï (1903, remplacé par )., Johannes van der Corput (1922, ). « —, Corrections », vol. 89, 1923, ., ainsi que (2003, ).. À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré. Cf. . que est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour font toujours l'objet de recherches.

Application à la différence du nombre de diviseurs pairs et du nombre de diviseurs impairs Posons où est le nombre de diviseurs pairs de et celui des diviseurs impairs ; la suite est répertoriée comme .

On a alors l'identité : qui, combinée avec la valeur de la série harmonique alternée ,

donne la convergence au sens de Cesàro de vers .

La formule de Dirichlet permet d'obtenir plus précisément : .

Comme , , donc .

Or et , donc .

Par la formule de Dirichlet : , on obtient alors :

, qui se simplifie en

.

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs Notons le plus petit tel que ; la suite est répertoriée comme .

Le tableau suivant en donne les 36 premiers termes. + : plus petit ayant diviseursLes deux premières colonnes sont extraites de la . Pour premiers tels que , et .. Nombre de diviseurs Factorisation de 1 1 1 2 2 2 3 4 22 4 6 2·3 5 16 24 6 12 22·3 7 64 26 8 24 23·3 9 36 22·32 10 48 24·3 11 210 12 60 22·3·5 13 212 14 192 26·3 15 144 24·32 16 120 23·3·5 17 216 18 180 22·32·5 19 218 20 240 24·3·5 21 576 26·32 22 210·3 23 222 24 360 23·32·5 25 24·34 26 212·3 27 900 22·32·52 28 960 26·3·5 29 228 30 720 24·32·5 31 230 32 840 23·3·5·7 33 210·32 34 216·3 35 26·34 36 22·32·5·7 Nota 1 : Pour premiers tels que , et .

Nota 2 : si n'a pas de successeur plus petit que lui, alors il est hautement composé.

Généralisation La fonction associe à tout naturel non nul la somme des puissances -ièmes de ses diviseurs :

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de cette fonction obtenu pour : .

Notes et références

Articles connexes Nombre parfait Nombre hautement composé Suite aliquote, suite où chaque nombre est la somme des diviseurs propres de son prédécesseur. Constante d'Erdős-Borwein égale à .

Catégorie:Fonction arithmétique Nombre diviseurs