La modélisation d'équations structurelles, modélisation par équations structurelles ou modélisation par équations structurales (en anglais ou SEM) est un ensemble diversifié de modèles mathématiques, algorithmes informatiques et méthodes statistiques qui font correspondre un réseau de concepts à des données.. On parle alors de modèles par équations structurales, ou de modèles en équations structurales ou encore de modèles d’équations structurelles.
La SEM est souvent utile en sciences sociales, car elle permet d'analyser des relations entre les variables observées et des variables non observées (variables latentes). Différentes méthodes de modélisation par équation structurelle ont été utilisées dans le domaine des sciences, des affaires, de l'éducation, et dans d'autres domaines.
Histoire La modélisation par équations structurelles, utilisée en sociologie, en psychologie et dans d'autres sciences sociales, a évolué à partir des méthodes de de Sewall Wright. Les formes modernes ont été rendues possibles par les implémentations importantes des ordinateurs mises en œuvre dans les années 1960 et 1970. La SEM a évolué suivant trois voies différentes : les méthodes de régression () développées principalement à la Cowles Commission ; les algorithmes itératifs basés sur les principes de maximum de vraisemblance dans le champ de l'analyse de relations structurelle () développée principalement par Karl Gustav Jöreskög à l'Educational Testing Service et par la suite à l'université d'Uppsala ; les algorithmes itératifs basés sur la méthode des moindres carrés également développés pour les analyses de relations structurelles () à l'université d'Uppsala, par Herman Wold. Une grande partie de ce développement a eu lieu à un moment où les calculs ont pu être automatisés, remplaçant l'utilisation de la calculatrice et des méthodes de calcul analogique, eux-mêmes produits des innovations de la fin du ..
Les deux logiciels LISREL et PLS-PA ont été conçus comme des algorithmes informatiques itératifs, avec dès leur création, une volonté de proposer une interface d'entrée de données, des graphiques, et une extensions de la méthode de Wrigth (1921). À ses débuts, la Commission Cowles a travaillé également sur des équations basées sur les algorithmes de Koopman et Hood (1953) portant sur l'économie des transports et les problèmes de routage optimal, et l'estimation du maximum de vraisemblance et des calculs algébriques fermés car les recherches de solutions itératives étaient limitées avant les ordinateurs.
Anderson et Rubin (1949, 1950) ont développé un estimateur du maximum de vraisemblance pour information limitée, qui incluait indirectement deux phases de la méthode des moindres carrés (Anderson, 2005 ; Farebrother, 1999). La méthode des moindres carrés à deux étapes, proposée à l'origine comme une méthode pour estimer les paramètres d'une seule équation structurelle dans un système linéaire d'équations simultanées, est introduite par Theil (1953a, 1953b, 1961) et plus ou moins indépendamment par Basmann (1957) et de Sargan (1958). De ces méthodes, la méthode des moindres carrés en deux étapes a été, de loin, la méthode la plus utilisée dans les années 1960 et au début des années 1970.
Les systèmes d'équation de régression ont été développés à la Commission Cowles dans les années 1950, reprenant pour les améliorer les modèles de transport de Tjalling Koopmans. Sewall Wright et d'autres statisticiens ont tenté de promouvoir la méthode dite « » à Cowles (puis à l'université de Chicago). À l'université de Chicago, les statisticiens ont identifié de nombreux défauts dans les méthodes d'application de ces analyses. Ces défauts ne posaient pas de problèmes majeurs pour l'identification de gènes de transmission dans le contexte de Wright, mais rendaient les méthodes PLS-PA et LISREL problématiques dans le domaine des sciences sociales. Freedman (1987) résuma ces objections : (voir aussi la réponse de Wold en 1987). L'analyse de Wright n'a jamais été très suivie par les économétristes américains mais rencontra du succès en influençant Hermann Wold et son élève Karl Jöreskög. L'étudiant de Jöreskög Claes Fornell fit connaître LISREL aux États-Unis.
Les progrès des ordinateurs ont élargi l'application des méthodes d'équations structurelles sur de grands ensembles de données complexes et non structurées. Les solutions techniques les plus populaires se répartissent en trois classes d'algorithmes : moindres carrés ordinaires appliqués de façon indépendante pour chaque itération (logiciels PLS) ; analyse de covariance inspirée des travaux de Wold et Jöreskog (logiciels LISREL, AMOS, et EQS) ; régression simultanée, développée par Tjalling Koopmans à la Commission Cowles.
Pearl enrichit les SEM en leur appliquant des modèles non paramétriques, et en proposant des interprétations causales et contrefactuelles des équationsPearl, Judea. "Causality: models, reasoning and inference." Econometric Theory 19.675-685 (2003): 46.. Par exemple, l'exclusion d'une variable des arguments de l'équation revient à dire que la variable dépendante est indépendante des changements sur la variable exclue, les autres arguments étant maintenus constants. Les SEM non paramétriques permettent l'estimation des effets totaux, directs et indirects, sans prendre aucun engagement quant à la forme des équations ou à la distribution des termes d'erreur. Cela enrichit l'analyse de la médiation aux systèmes ayant des variables catégorielles en présence d'interactions non linéaires. Bollen et Pearl passent en revue l'histoire de l'interprétation causale de la SEM et pourquoi elle est devenue une source de confusions et de controverses.
Approche générale de la SEM vignette|upright=1.5|Exemple de SEM : les variables mesurées sont représentées par des carrés, les variables latentes qui sont estimées (mais pas mesurées directement) sont représentées par des cercles. Le psychologue fait l'hypothèse de l'existence de variables latentes et des types de relations entre les variables latentes et mesurées. L'analyse SEM calcule quel modèle théorique est bien "ajusté". Bien que chaque technique de SEM soit différente, les aspects communs aux diverses méthodes SEM sont présentés ici.
Composition du modèle Deux principaux composants sont distingués dans la SEM : le modèle structurel vise à mettre en évidence d'éventuelles dépendances causales entre variables endogènes et exogènes ; et le modèle de mesure montrant les relations entre les variables latentes et leurs indicateurs. Les modèles d'analyse factorielle (qu'elle soit exploratoire ou confirmatoire) ne contiennent que la partie mesure, tandis que les diagrammes structurels () ne contiennent que la partie structurelle.
Au moment de spécifier les voies (pathways) du modèle, le modeleur peut poser deux types de relations : voies libres, dans lesquelles les relations de causalité hypothétiques (en fait contrefactuelles) entre les variables sont testées, et, par conséquent, sont laissées "libres" de varier ; les relations entre les variables qui ont déjà une relation estimée, généralement sur la base des études antérieures, qui sont "fixes" dans le modèle.
Un modeleur spécifie souvent un ensemble de modèles théoriquement plausibles afin d'évaluer si le modèle proposé est le meilleur de la série de modèles possibles. Il doit non seulement tenir compte des raisons théoriques sous-jacentes à la construction du modèle, mais il doit également tenir compte du nombre de points de données et du nombre de paramètres que le modèle doit estimer pour identifier le modèle. Un modèle identifié est un modèle où une valeur spécifique de paramètre suffit pour identifier le modèle, et aucune autre formulation équivalente ne peut être donnée par une autre valeur de paramètre. Un point de donnée est une variable où les scores sont observés, comme une variable contenant les scores à une question. Le paramètre est la valeur qui intéresse le modeleur. Il peut être un coefficient de régression entre une variable exogène et une endogène ; il peut être le poids du facteur (coefficient de régression entre un indicateur et son facteur). S'il y a moins de points de données que le nombre de paramètres estimés, le modèle qui en résulte est "non-identifié", car il y a trop peu de points de référence pour tenir compte de toute la variance du modèle. La solution est de contraindre l'un des chemins d'accès à zéro, ce qui signifie qu'il ne fait plus partie du modèle.
Estimation de paramètres libres L'estimation des paramètres se fait en comparant les matrices de covariance réelles montrant les relations entre les variables et les matrices de covariance estimées par le meilleur modèle. Cette comparaison est obtenue par un critère d'ajustement, calculé sur la base de plusieurs estimations : l'estimation du maximum de vraisemblance, l'estimation du quasi-maximum vraisemblance, l'estimation des moindres carrés pondérés ou des méthodes pour distributions asymptotiques et distributions libres. Le calcul est effectué par les programmes de SEM spécialisés.
Évaluation du modèle et de l'ajustement du modèle Ayant estimé un modèle, les analystes veulent ensuite interpréter le modèle. Les structures estimées (ou chemins) peuvent être tabulées et/ou présentées graphiquement sous forme d'un modèle structurel itératif (path model). L'impact de variables est évalué à l'aide de règles de suivi de structure ().
Il est important d'examiner l'ajustement d'un modèle estimé pour déterminer s'il modélise bien les données. C'est une tâche de base dans la modélisation par SEM : décider des bases de l'acceptation ou du rejet des modèles et, plus généralement, de l'acceptation d'un modèle concurrent sur un autre. La sortie des programmes de SEM inclut des matrices de l'estimation des relations entre les variables dans le modèle. L'évaluation de l'ajustement consiste à calculer à quel point les données prédites sont similaires aux matrices contenant les relations entre données réelles.
Des tests statistiques et des indices d'ajustement ont été développés dans ce but. Les paramètres individuels du modèle peuvent également être examinés dans le modèle estimé pour voir comment le modèle proposé s'ajuste à la théorie qui gouverne le modèle. La plupart des méthodes d'estimation permettent de faire une telle estimation.
Comme dans toutes les statistiques basées sur des tests d'hypothèse, les tests du modèle SEM sont basés sur l'hypothèse que les données utilisées sont pertinentes, correctes et complètes. Dans la littérature sur la SEM, des discussions sur l'ajustement ont conduit à une variété de recommandations concernant l'application précise des différents ajustement des indices et des tests d'hypothèse.
Il existe différentes approches pour évaluer l'ajustement. Les approches traditionnelles partent de l'hypothèse nulle, privilégiant les modèles parcimonieux (ceux avec moins de paramètres libres). Parce que les différentes mesures d'ajustement capturent différents éléments de l'ajustement du modèle, il convient de reporter dans les résultats une sélection de différentes mesures d'ajustement. Les bonnes pratiques (application d'un score de décision, ) pour interpréter les mesures d'ajustement, y compris celles énumérées ci-dessous, sont l'objet de beaucoup de débats chez les chercheurs spécialistes en SEM ..
Quelques-unes des mesures d'ajustement les plus utilisées incluent : Le Chi-Carré : une mesure fondamentale de l'ajustement, utilisée dans le calcul de beaucoup d'autres mesures d'ajustement. Sur le plan conceptuel, c'est une fonction de la taille de l'échantillon et de la différence entre la matrice de covariance et le modèle de matrice de covariance.