En mécanique des fluides l'équation de Helmholtz est l'équation de transport de la vorticité (ou tourbillon) pour l'écoulement d'un fluide incompressible barotrope. Elle a été établie par Hermann von Helmholtz en 1858.
Cette équation est utilisée pour l'étude des mécanismes de turbulence et, dans le cas non visqueux, pour l'étude de l'atmosphère.
Équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible Les équations de Navier-Stokes pour un milieu incompressible s'écrivent Équation d'incompressibilité
Équation de bilan de la quantité de mouvement
où ρ est la masse volumique supposée variable, p la pression, V la vitesse et ν la viscosité cinématique du fluide. g est une force extérieure.
Équation de Helmholtz
L'équation de quantité de mouvement ci-dessus peut s'écrire
On a introduit dans cette équation la vorticité
en prenant le rotationnel de cette nouvelle équation il vient (on suppose g irrotationnel)
Le second terme se développe de la façon suivante
Finalement l'équation de conservation de la vorticité s'écrit
où Π est le vecteur barocline
Ce terme est nul pour un fluide barotrope. On obtient alors l'équation de Helmholtz
Notes
Références
Helmholtz