En mathématiques, l'inégalité d'Hermite–Hadamard, nommé d'après Charles Hermite et Jacques Hadamard, parfois appelée inégalité de Hadamard, donne un encadrement de la moyenne arithmétique d'une fonction. Plus précisément, elle dit que si une fonction est convexe, alors son intégrale est bornée par :
Historique L'inégalité a été essentiellement découverte en 1881 par le mathématicien français Charles Hermite (qui l'avait même annoncée). Cela est toutefois resté inaperçu dans un premier temps, tout comme la publication présentée à ce sujet par Hermite en 1883 dans la revue « Mathesis »Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson : « Convex Functions and Their Applications ». 2006, p. 50 et suivantes.
Preuve
Si la fonction est convexe sur un intervalle, elle y est continue, mais aussi dérivable à gauche et à droite en chaque point. On note et ces dérivées respectivement. Ainsi, pour chaque , on peut construire une ligne
telle que
On a, en particulier, pour :
D'autre part, toujours par convexité de , on a :
Il suffit alors de calculer les intégrales des deux fonctions affines :
Généralisation par les intégrales itérées
On considère une fonction réelle intégrable. On peut définir la suite de fonctions suivante d'intégrales itérées de , pour :
Alors si est convexe, pour a < xi < b, i = 1, ..., n, distincts deux à deux (xi ≠ xj et i ≠ j), alors on a:
avec
L'inégalité change de sens si est concave.
Le cas d'égalité est vérifié si et seulement si est linéaire.
On a également : avec pour alors
Applications Formule de Stirling En 1883, HermiteCh. Hermite, Sur deux limites d’une intégrale définie, Mathesis, 3 (1883), p. 82. applique l'inégalité sur la fonction (convexe stricte) pour :
Ainsi, pour , avec un entier strictement positif :
On en déduit l'inégalité :
dont on tire :
Cette suite est donc minorée et décroissante, donc converge. En passant à l'exponentielle, on reconnait un résultat fondamental pour établir la formule de Stirling :
Inégalités entre moyennes En appliquant l'inégalité sur la fonction (convexe) exponentielle pour et :
où désigne la moyenne géométrique, désigne la moyenne logarithmique et désigne la moyenne arithmétique.
En appliquant l'inégalité sur la fonction (concave) logarithme pour et :
où désigne la moyenne identrique.
Remarques Certains auteurs désignent l'inégalité d'Hermite-Hadamard sous le nom d'« inégalité de Jensen-Hadamard » , en faisant également référence au mathématicien danois Johan Ludwig Jensen. En effet, l'estimation supérieure de l'inégalité peut se déduire d'une simple application de la variante continue de l'inégalité de Jensen. L'inégalité intégrale peut être considérée comme le point de départ de la Niculescu/Persson, op. cit., p. 52, p. 177 et suivantes. Dans le cadre de cette théorie, on peut montrer que, dans les conditions décrites dans le théorème de Choquet, une inégalité intégrale analogue s'applique. En particulier, cet analogue est valable pour tout simplexe de dimension et toute mesure de probabilité borélienne définie sur Niculescu/Persson, op. cit., p. 193 et suivantesConstantin P. Niculescu : « The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable. » Math. Inequal. Appl. 5 (2002), p. 619–623.
Références
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Liens externes
Hermite Hadamard Catégorie:Jacques Hadamard