En théorie des nombres, le théorème de Zsigmondy, portant le nom de Karl Zsigmondy, énonce que si a > b > 0 sont des entiers premiers entre eux, alors pour tout entier n ≥ 1, il existe un nombre premier p (appelé diviseur premier primitif) qui divise et ne divise pas pour , avec les exceptions suivantes : , ; dans ce cas = 1 n'a pas de diviseurs premiers ; , et une puissance de deux ; dans ce cas n'importe quel facteur premier impair de doit être contenu dans , qui est aussi pair ; , , ; alors, = 63 = 32×7 = Cela généralise un théorème de Bang, qui énonce que si et n différent de 6, alors a un diviseur premier qui ne divise pour aucun .
De même, a au moins un diviseur premier primitif, à l'exception de .
Histoire
Le théorème a été démontré par Zsigmondy, qui travaillait à Vienne de 1894 à 1925.
Généralisations Soit une suite d'entiers non nuls. L'ensemble de Zsigmondy associé à la suite est l'ensemble , c'est-à-dire l'ensemble des indices tels que tout nombre premier divisant divise aussi pour un certain . Ainsi, le théorème de Zsigmondy implique que , et le théorème de Carmichael énonce que l'ensemble de Zsigmondy de la suite de Fibonacci est , et celui de la suite de Pell est . En 2001, Bilu, Hanrot et Voutier. ont prouvé qu'en général, si est une suite de Lucas ou une , alors .
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
Lien externe
Zsigmondy