En mathématiques, les polynômes d'Askey-Wilson (ou q-polynômes de Wilson) sont une famille particulière de polynômes orthogonaux. Ils ont été introduits par Richard Askey et James A. Wilson en 1985., et sont nommés d'après eux. Ces polynômes sont des q-analogues d'une autre famille de polynômes orthogonaux, les polynômes de Wilson.
La famille des polynômes d'Askey-Wilson comprend de nombreux autres polynômes orthogonaux comme cas particuliers, soit en une variable, soit comme cas limite, dans le cadre décrit par le . Les polynômes d'Askey-Wilson sont à leur tour des cas particuliers des polynômes de Macdonald (ou des polynômes de Koornwinder) pour certains .
Définition
Les polynômes d'Askey-Wilson sont définis par :
où est une , et est le q-symbole de Pochhammer étendu par la formule . Ce sont des polynômes de degré n en .
Symétrie Les polynômes sont symétriques en les paramètres . Pour , ils prennent la valeur particulière , et de même et . Pour des entiers positifs ou nuls, il y a vérifient la relation de dualité
pour et , , .
Orthogonalité Pour , et pour quatre nombres réels vérifiant , on a la relation d'orthogonalité :
avec
Pour des valeurs plus générales des paramètres, il existe une relation sous forme d'une intégrale de contour. Le cas particulier de l’équation pour est appelé lintégrale d'Askey-Wilson.
Spécialisation des paramètres Par la spécialisation de certains paramètres, on retrouve d'autres familles de polynômes orthogonaux (comme ci-dessus, ) :
Polynômes de Al-Salam-Chihara : . Polynômes de q-Jacobi continus : . Polynômes q-ultrasphériques continus : . Polynômes de q-Hermite continus : . Polynômes de Tchebychev : , .
Cas limites
Polynômes de Wilson : . Polynômes de Jacobi : . Polynômes ultrasphériques : . Polynômes d'Hermite : .
Voir aussi
Liste de polynômes remarquables
Notes et références
Bibliographie
.
Liens externes
Catégorie:Fonction hypergéométrique Catégorie:Fonction spéciale Catégorie:Polynômes orthogonaux Catégorie:Polynôme remarquable