En mathématiques, l'itération du quotient de Rayleigh est une méthode numérique qui étend l'idée de la méthode de la puissance inverse en utilisant le quotient de Rayleigh pour obtenir des estimations sur les valeurs propres de plus en plus précises.

L'itération du quotient de Rayleigh est une méthode itérative, c'est-à-dire qu'elle fournit une suite de solutions approchées convergeant vers une vraie solution à la limite. Heureusement pour cette méthode une convergence très rapide est garantie et il suffit de quelques itérations dans la pratique pour obtenir une approximation raisonnable. L'algorithme d'itération du quotient de Rayleigh converge de façon cubique pour les matrices hermitiennes (ou les matrices symétriques), si le vecteur initial de l'itération est suffisamment proche d'un vecteur propre de la matrice que l'on cherche à analyser.

Algorithme

L'algorithme est très similaire à la méthode de la puissance inverse, mais remplace l'estimation de la valeur propre à la fin de l'itération par le quotient de Rayleigh.

On commence par choisir une certaine valeur comme première estimation d'une valeur propre d'une matrice hermitienne . On doit également choisir un vecteur initial qui est une première estimation d'un vecteur propre associé à la valeur propre que l'on souhaite calculer.

Pour calculer les prochaines estimations et de la valeur propre et de son vecteur propre associé à partir des estimations et , on commence par calculer

où est la matrice identité puis on définit

À noter que dans le calcul de , il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de mais seulement de résoudre le système linéaire .

Pour calculer plus d'une valeur propre à la fois, on peut combiner cet algorithme avec une technique de déflation.

Exemple Considérons la matrice

qui admet comme valeurs propres

avec des vecteurs propres correspondants

où

est le nombre d'or.

La plus grande valeur propre est donc

On commence par choisir comme premières estimations

Alors la première estimation donne

puis la deuxième

puis la troisième

ce qui illustre la convergence cubique de la méthode.

Voir aussi Algorithme de recherche de valeur propre Méthode de la puissance itérée

Notes et références

Lloyd N. Trefethen and David Bau, III, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. . Rainer Kress, "Numerical Analysis", Springer, 1991.

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