thumb|Pierre de Fermat (1601-1665).
En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. Par exemple, selon ce théorème, un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 1 + 4 et 97 = 9 + 4), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. Ce résultat est parfois nommé simplement théorème des deux carrés ou bien encore théorème de Fermat de Noël.
Il s’inscrit dans la longue histoire de la représentation de nombres comme sommes de carrés qui remonte à l'Antiquité. Il est explicité par Pierre de Fermat au , mais la première preuve publiée connue est l'œuvre de Leonhard Euler un siècle plus tard. Sa démonstration ne clôt pas les interrogations. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. Elles ont joué un rôle important dans le développement d’une branche des mathématiques appelée théorie algébrique des nombres.
À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques.
Présentation du théorème Le cas des nombres premiers Certains nombres premiers sont sommes de deux carrés parfaits. C’est bien sûr le cas de 2 (= 1 + 1) ; de même, 5 est la somme de 1 et de 4. D'autres comme 3 ou 7 ne vérifient pas cette propriété. Un test systématique jusqu'à 40 montre que :
En revanche, 3, 7, 11, 19, 23 et 31 ne se décomposent pas ainsi. Le théorème fournit un critère général permettant de discriminer ces deux situations :
On peut démontrer de façon élémentaire qu'il y a une infinité de nombres premiers dans chacune des deux classes impaires de congruence modulo 4 (celle de 1 et celle de –1).
On peut mener le calcul effectif de et grâce à la remarque suivante : si est une racine carrée de –1 dans (que l'on peut par exemple calculer à l'aide de l'algorithme de Cipolla) et si est un pgcd de et dans l'anneau des entiers de Gauss , qui est euclidien, alors En effet, si , on peut factoriser . Les deux facteurs sont irréductibles car si est un facteur irréductible de dans , alors la norme est strictement plus grande que 1 (sans quoi est inversible) et elle divise , donc . À présent, puisque est un multiple de , c'est aussi un multiple de : avec le lemme d'Euclide (dans l'anneau des entiers de Gauss, qui est euclidien), on en déduit que , étant irréductible, divise ou et divise aussi un pgcd de et . Or n'est pas (car ). On en conclut qu'un pgcd de et est associé à , ce qui permet de calculer et ..
Le cas général Si, dans un premier temps, les entiers de 1 à 50 sont écrits sur quatre lignes en fonction du reste de leur division par quatre, on obtient :
Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. On constate que la quatrième ligne ne contient pas de solution. Or le produit d'un nombre pair de facteurs de la forme 4k + 3 est de la forme 4k + 1, donc cette dernière ligne ne contient que des nombres qui ont un nombre impair de facteurs premiers de la forme 4k + 3. Ceci donne une piste pour comprendre la situation générale. On a :
Ainsi 30 = 2×3×5 n’est pas somme de carrés car dans sa décomposition en facteurs premiers, 3 intervient avec un exposant 1. En revanche, 45 = 3×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 6 + 3).
La question du nombre de paires de carrés dont la somme est égale à un entier n donné, est aussi plus difficile ; ce nombre dépend des exposants des facteurs de n de la forme 4k + 1. En écrivant où n' est divisible seulement par 2 et des facteurs premiers de la forme 4k + 3 et où les différents p sont les facteurs premiers de la forme 4k + 1, et en notant m le produit alors le nombre de décompositions différentes de n (normalisées, sous la forme x + y avec x ≥ y ≥ 0) est égal à m/2 si m est pair, c'est-à-dire si l'un au moins des exposants a, b, c… est impair, et à (m + 1)/2 si m est impair, c'est-à-dire si tous les exposants sont pairs. En particulier, la décomposition est unique lorsque m est égal à 1 ou 2, c'est-à-dire lorsque n ne possède aucun facteur premier de la forme 4k + 1, ou alors un seul et avec exposant 1.
Une autre expression équivalente du nombre de décompositions a été donnée par Charles Gustave Jacob Jacobi C. G. J. Jacobi, Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg, 1829. :
Ici, on compte toutes les représentations (non normalisées), même celles qui ne diffèrent que par le signe ou l'ordre. Par exemple, 5 = (±2) + (±1) = (±1) + (±2) admet 8 représentations comme somme de deux carrés.
Un dernier aspect important est la construction explicite des carrés dont la somme est égale à un entier donné.
Histoire Antiquité : premiers résultats thumb|Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie. L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du millénaire avant notre ère et deux lemmes ajoutés au théorème X.28 dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés, vol. 3, Livre X, ..
Mais c’est dans la tradition diophantienne que l’on trouve des traces plus précises sur les nombres sommes de carrés. Les Arithmétiques., composées à une date incertaine, contiennent des problèmes dont les solutions cherchées sont rationnelles ou entières. Un grand nombre d’entre eux concerne les nombres carrés ou cubiques (en l’occurrence des carrés ou des cubes de nombres rationnels). À titre d'exemples, le problème 11 du livre II est le suivant : , ou encore le problème 22 du livre IV : . Pour résoudre toutes ces questions, Diophante introduit une « quantité indéterminée d’unités » qu’il appelle « arithme » et exprime en fonction d’elle toutes les données du problème (c’est donc un ancêtre de la notion d’inconnue en algèbre). Il arrive ainsi à trouver une solution numérique particulière, par exemple pour le problème II.11 la solution 97/64 si les nombres donnés sont 2 et 3, et pour le problème IV.22, la solution 1, 34/6 et (2.1/2)/6.
Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. Par exemple, Diophante note sans explication que 15 ne peut être la somme de deux carrés de nombres rationnels au milieu de la solution du problème VI.14. Dans le livre III, il affirme que le nombre 65 est une somme de deux carrés de deux façons différentes, car c'est le produit de 5 et 13, eux-mêmes sommes de deux carrés, chap. I, § 6.. Un autre problème concerne le fait de . Cela signifie qu'on cherche un entier et deux rationnels tels que sont des carrés de nombres rationnels, ou encore, un entier c tel que 2c + 1 soit somme de deux carrés de rationnels. Diophante dit explicitement que c doit être pair, autrement dit que la division de 2c + 1 par 4 donne pour reste 1Diophante ajoute une autre condition mais le texte qui a survécu est corrompu et peu clair. De nombreuses interprétations en ont été proposées, qui attribuent à Diophante une compréhension plus ou moins complète des conditions pour qu’un nombre soit somme de carrés : voir par exemple , ou ..
Certains mathématiciens lecteurs de Diophante étudieront de manière plus systématique et plus arithmétique les nombres sommes de carrés, en particulier la tradition en langue arabe de al-Khāzin, al-Sijzi, al-Samaw'al« Analyse combinatoire, analyse numérique, analyse diophantienne et théorie des nombres », dans Roshdi Rashed (dir.), Histoire des sciences arabes, vol. 2, Paris, Seuil, 1997, .. Leur perspective combine, sur les problèmes diophantiens qui s’y prêtent, des techniques inspirées de l’algèbre naissante et un point de vue euclidien, en particulier une focalisation sur les nombres entiers et des preuves générales. Par exemple, ils montrent qu’une somme impaire de deux carrés premiers entre eux est de la forme 12k + 5 ou 12k + 1. Un contexte important est l'étude des triangles rectangles en nombres, ou triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres vérifiant a + b = c : en effet, si les côtés a, b, c sont premiers entre eux, c lui-même s'écrit comme une somme de carrés.
: les énoncés thumb|left|Marin Mersenne, Minime et homme de science, établit un contact épistolaire solide entre Pierre Fermat et ses contemporains.
C'est en lien direct avec les éditions et commentaires des Arithmétiques de Diophante que l'on trouve au une exploration plus systématique, puis les premiers énoncés complets de ce théorème.
Albert Girard est le premier mathématicien qui énonce le théorème. Alors qu'il publie, en 1625, la traduction par Simon Stevin des livres de Diophante, Girard annonce sans preuve, dans ses annotationsP. 622., que les nombres s'exprimant comme somme de deux carrés d'entiers sont
soit, comme le résume L. E. Dickson,
c'est-à-dire les nombres décrits dans l'énoncé général ci-dessus.
C'est à peu près à la même date que Marin Mersenne met en place à Paris une académie toute mathématique communiquant les résultats des différents travaux, et appuyée sur un important réseau de correspondants à travers toute l'Europe. Y participent des noms restés plus ou moins célèbres comme Étienne et Blaise Pascal, René Descartes, Bernard Frénicle de Bessy, Gilles Personne de Roberval ou encore Pierre de Carcavi, bibliothécaire du roi. Cette correspondance est une des deux principales sources pour les travaux arithmétiques de Fermat, l'autre étant ses propres commentaires à l'édition de Diophante qu'a donnée Claude-Gaspard Bachet de Méziriac en 1621Arithmétiques de Diophante, édition grecque et traduction en latin commentée de Bachet de Méziriac, Paris, 1621.. Dans ses travaux de théorie des nombres, Bachet s'inscrit dans la tradition de l'analyse diophantienne entière : il donne de nouveaux exemples numériques en entiers et surtout, des preuves à la mode euclidienne de nombreuses propositionsDans la deuxième édition de son livre, Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres, partie recueillis de divers auteurs, et inventez de nouveau, avec leur démonstration, par Claude Gaspar Bachet, Sr. de Méziriac. Très utiles pour toutes sortes de personnes curieuses qui se servent d'arithmétique (1624), Bachet donne aussi la première preuve actuellement connue de l'identité de Bézout.. En particulier, il redécouvre dans DiophanteViète en avait donné une interprétation géométrique dans ses Notae priores. (Arithmetica, III, 19) une identité remarquable prouvant que le produit de deux sommes de deux carrés est une somme de deux carrés, de deux façons différentes ; plus précisément, en notation algébrique actuelle : Identité de DiophanteCette identité est parfois appelée identité de Brahmagupta car on l'a trouvée aussi, sous une forme plus générale, chez ce mathématicien indien du . : Cette identité est fondamentale pour passer du cas des nombres premiers au cas général.