En théorie quantique des champs (ou QFT), en mécanique statistique des champs, dans la théorie des structures géométriques autosimilaires, une renormalisation est une manière, variable dans sa nature, de prendre la limite du continu quand certaines constructions statistiques et quantiques deviennent indéfinies.
La renormalisation détermine la façon de relier les paramètres de la théorie quand ces paramètres à grande échelle diffèrent de leur valeur à petite échelle. La renormalisation a été initialement développée en électrodynamique quantique (QED), en vue d'interpréter des intégrales divergentes de la théorie des perturbations. Au début, elle est considérée comme une procédure suspecte et provisoire par certains de ses auteurs. Finalement la renormalisation a été incorporée comme un outil important et logiquement cohérent dans plusieurs domaines de physique et de mathématiques.
L'idée majeure de la renormalisation est de corriger le lagrangien original d'une théorie quantique des champs par une série infinie de contre-termes, correspondant aux graphes de Feynman qui codent le développement perturbatif de la théorie. Dans la procédure de renormalisation perturbative, on introduit un contre-terme dans le lagrangien initial pour chaque divergence de graphe de Feynman. Dans certains cas, tous les contre-termes nécessaires peuvent être obtenus par modification des seuls paramètres du lagrangien initial. Il est alors possible de modifier ces paramètres, en les remplaçant par des séries de contre-termes divergents. Les paramètres initiaux ne sont pas observables, par opposition aux quantités physiques, qui sont finies, et observables. Un des problèmes de la procédure de renormalisation est le traitement systématique, dans les graphes à plusieurs boucles, des divergences liées à des boucles croisées ou incluses les unes dans les autres.
Auto-interactions en physique classique Le problème des divergences est apparu tout d'abord en électrodynamique classique des particules ponctuelles aux et début du .
La masse d'une particule chargée doit inclure la masse-énergie de son champ électrostatique. Supposons que la particule soit une sphère chargée de rayon . L'énergie de ce champ est, en posant et :
et elle devient infinie quand , ce qui est évidemment absurde, puisque cela impliquerait en particulier que la particule ponctuelle ne pourrait pas être accélérée, en raison de sa masse infinie.
En passant, la valeur de qui rend égal à la masse de l'électron est appelée le rayon classique de l'électron, et vaut fois la longueur d'onde de Compton de l'électron, où est la constante de structure fine. En remettant tous les multiples de et de , on peut écrire : vignette|Fig. 1 ─ Renormalisation en QED : la simple interaction électron-photon qui définit la charge de l'électron à un point de renormalisation se révèle à un autre point composée de plusieurs interactions plus compliquées.
La masse totale effective d'une particule chargée sphérique inclut – outre la masse calculée supra pour le champ électromagnétique – la masse nue de la particule chargée. Si on permet à cette dernière d'être négative, on peut envisager un passage cohérent à la limite ponctuelle. Ceci a été appelé « renormalisation ». Hendrik Lorentz et Max Abraham ont essayé, de cette manière, de mettre au point une théorie classique de l'électron. Ces travaux précoces ont inspiré des essais ultérieurs de régularisation en physique et la renormalisation en QFT.
Quand on calcule les interactions électromagnétiques de particules chargées, il est tentant d'ignorer la rétroaction du champ d'une particule sur elle-même. Mais cette rétroaction est nécessaire pour expliquer le ralentissement de particules chargées qui rayonnent. Si l'on suppose l'électron ponctuel, la valeur de la rétroaction diverge, pour la même raison que la masse diverge, parce que le champ se comporte comme le carré inverse de la distance.
La théorie d'Abraham et Lorentz impliquait une « préaccélération » non causale. Dans certaines configurations, un électron commençait à se déplacer avant que la force ne soit appliquée. Ceci signalait que la limite ponctuelle n'était pas cohérente. Un corps étendu ne commencera à bouger que quand une force est appliquée sur un point au plus à sa surface.
Le problème s'est trouvé pire en théorie classique des champs qu'en QFT, parce que dans cette dernière, à courte distance, une particule se trouve dans une position fluctuante, et on ne peut donc la localiser mieux que dans une région de l'ordre de la longueur d'onde de ComptonVoir Principe d'incertitude. En QED, à faible couplage, la masse électromagnétique ne diverge que comme le logarithme du rayon de la particule.
Certains physiciens pensent que quand la constante de structure fine est bien plus grande que l'unité, si bien que le rayon classique de l'électron est supérieur à la longueur d'onde de Compton, certains problèmes qui rendent la théorie classique incohérente reviennent en théorie quantique. En effet les problèmes de la théorie classique apparaissent à des distances de l'ordre du rayon classique, mais ils sont dilués par le principe d'incertitude sur une échelle plus grande, celle de la longueur d'onde de Compton. Si la constante de structure fine est plus grande que l'unité, alors c'est la situation inverse qui prévaut : les problèmes de la théorie classique peuvent se manifester avant d'être dilués par les fluctuations quantiques.
Divergences en électrodynamique quantique
thumb|200px|Fig. 2 – Un diagramme contribuant à la diffusion électron-électron en QED. La divergence UV de l'intégrale sur la boucle est logarithmique.
thumb|200px|Fig. 3 – Polarisation du vide, ou écrantage des charges. Divergence UV logarithmique.
thumb|200px|Fig. 4 – Diagramme de self-interaction en QED. Divergence UV logarithmique.
Quand ils mettent au point l'électrodynamique quantique (QED), Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan et Paul Dirac découvrent que beaucoup d'intégrales du calcul perturbatif divergent.
Une façon de décrire les divergences est découverte à ce moment-là par Ernst Stueckelberg, perfectionnée dans les années 1940 par Julian Schwinger, Richard Feynman, et Sin-Itiro Tomonaga, et finalement systématisée par Freeman Dyson. Les divergences apparaissent dans les calculs impliquant des diagrammes de Feynman comprenant des boucles fermées de particules virtuelles.
Les particules virtuelles obéissent, certes, aux lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement mais, contrairement aux particules réelles, elles peuvent avoir n'importe quel quadri-moment (ou 4-moment). Les particules virtuelles ne respectent pas la relation de la relativité entre masse, énergie et quantité de mouvement. Ceci veut dire que peut être différent de – par exemple, pour un photon, peut être non nul. Dans ce cas, la particule est dite « hors de sa couche de masse », ou tout simplement « hors couche ». Quand il y a une boucle, les 4-moments des particules participant à la boucle ne sont pas uniquement définis par ceux des particules incidentes et émergentes. On peut ajouter un 4-vecteur constant à tous les 4-moments des particules formant la boucle sans violer les conditions de conservation du 4-moment à chaque vertex de la boucle. Pour calculer le diagramme de Feynman, il faut intégrer sur toutes les possibilités de choix des 4-moments de la boucle.
Ces intégrales sont parfois divergentes, car la fonction à intégrer ne décroît pas assez vite pour des 4-moments très grands. On appelle ceci une divergence ultraviolette (UV). Ces divergences UV peuvent être interprétées indifféremment comme provenant : de la région où tous les 4-moments des particules intermédiaires de la boucle sont très grands ; des très courtes longueurs d'onde et hautes fréquences des fluctuations des champs soumis à l'intégrale de chemin ; des intervalles d'espace-temps très courts entre les diverses émissions et absorption des particules participant à la boucle, si l'on considère la boucle comme une somme sur les chemins des particules.
On peut donc considérer ces divergences comme des phénomènes à très courtes distances dans l'espace-temps, ce qui nous renvoie à la divergence de l'électrodynamique classique.
En QED, il y a exactement trois catégories de diagrammes divergents, illustrés sur les figures à l'ordre à une boucle : un électron émet des photons, puis un avec lequel il interagit avec un autre électron, et enfin réabsorbe les premiers photons émis. C'est la renormalisation de vertex (Fig. 2) ou (Fig. 1) un photon crée un ensemble de particules virtuelles : électron-positron et photons, qui se réannihilent en un photon. C'est la polarisation du vide (Fig. 3). un électron émet des particules virtuelles et les réabsorbe. C'est la self-interaction de l'électron (Fig. 4).
Ces trois divergences correspondent à trois paramètres de la théorie : la charge de l'électron la normalisation du champ du photon la masse de l'électron
Une autre classe de divergences, appelées divergences infrarouges (IR), est due à la présence de particules de masse nulle, comme le photon en QED. Tout processus impliquant l'accélération de particules chargées se traduira par l'émission d'une onde de champ classique, qui comprend une infinité de photons cohérents de grande longueur d'onde. La probabilité d'en émettre un nombre fini est nulle.
En QED, ce processus est bien compris. Par exemple, à l'ordre à une boucle, la fonction de vertex (Fig. 2) a des divergences UV et IR. Contrairement à ce qui se passe pour la divergence UV, la divergence infrarouge ne nécessite pas la renormalisation d'un paramètre de la théorie. On ne l'élimine pas directement de l'amplitude de diffusion, mais de la section efficace. On ajoute les contributions, à cette section, du carré de l'amplitude (avec sa divergence IR) et celle du processus comparable où le photon virtuel de la boucle est émis de façon réelle (il n'y a donc plus de boucle, mais une intégration sur les moments des photons réels). Ce calcul tient compte du processus de bremsstrahlung. Il n'y a pas de moyen physique de distinguer un photon d'énergie nulle circulant dans une boucle comme sur le diagramme de vertex, et un photon d'énergie nulle émis par bremsstrahlung. Donc seule la somme des deux sections efficaces revêt une signification physique, ce qui se traduit par l'élimination des divergences IR.
Une divergence de boucle
Le diagramme de la Fig. 2 présente une des contributions à une boucle à la diffusion électron-électron en QED. L'électron représenté à gauche de la figure par une ligne polygonale arrive avec un 4-moment , et ressort avec un 4-moment . Il commence par émettre un premier photon virtuel, de 4-moment , puis un second de 4-moment pour transférer du 4-moment à l'autre électron. Finalement, il réabsorbe le premier photon émis. À chaque interaction, le 4-moment total est conservé, mais cela ne définit pas la valeur de , qui peut prendre n'importe quelle valeur. On en déduit la valeur du 4-moment de chaque particule virtuelle dans la boucle. Il faut donc envisager toutes les possibilités, et intégrer sur tout le 4-espace de . Les règles de QED définissent la valeur de la fonction à intégrer : couplage de l'électron au photon, terme à insérer pour chacune des lignes de particules virtuelles (ou propagateur). Ce terme devient infini quand la particule virtuelle se trouve sur sa couche de masse, mais des prescriptions sont données pour interpréter l'intégrale en ces points.
L'amplitude relative à ce diagramme finit donc par s'écrire :