En algèbre commutative, l'anneau des entiers est une construction que l'on peut obtenir à partir de tout corps de nombres en considérant ses éléments entiers. Par exemple, l'anneau des entiers de est . Il existe des algorithmes efficaces pour calculer cet anneau pour tout corps de nombres.. La notion peut en fait être étendue à d'autres objets (notamment les corps de fonctions), et porte une interprétation géométrique..
Définition
Soit un corps de nombres. Un élément de est dit entier s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans . L'ensemble des éléments entiers de est un anneau, noté et appelé l'anneau des entiers de .
Une définition équivalente est que est l'unique ordre maximal de .
Propriétés L'anneau est un ordre, en particulier un -module de type fini sans torsion, possédant donc une base, appelée base intégrale. Si est une telle base, le nombre est le degré de l'extension . L'anneau est un anneau de Dedekind, et possède donc la propriété de factorisation unique des idéaux. Les unités forment un -module de type fini par le théorème de Dirichlet. Le sous-groupe de torsion de est constitué des racines de l'unité. Si est une extension finie d'un corps de nombres, alors la fermeture intégrale de dans coïncide avec .
Exemples Soit un entier sans facteur carré et soit (qui est un corps quadratique si ). Alors, est un anneau d'entiers quadratiques, égal à si (pour , c'est l'anneau des entiers de Gauss) ; si (en particulier, ). Plus généralement, soient et deux entiers sans facteur carré, , et (qui est un si et sont différents de 1 et distincts). Alors.
Version téléchargeable : https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-mathematical-bulletin/article/integers-of-biquadratic-fields/2337B4F6F91DA8175F87AB610C5A6E9C, . L'anneau des entiers du -ième corps cyclotomique est , et celui de son sous-corps réel maximal est , th. 2.6 p. 11 et prop. 2.16 p. 16..
Généralisation Si K est un corps local non archimédien, l'anneau O de ses entiers (défini de la même façon que pour un corps de nombres) est égal à sa boule unité fermée. Par exemple : pour tout nombre premier , l'anneau des entiers du corps des nombres -adiques est l'anneau des entiers -adiques ; l'anneau des entiers du corps des séries formelles de Laurent à coefficients dans le corps fini est l'anneau des séries formelles à coefficients dans ; si est un complété formel d'un corps de nombres , alors est le complété formel de .
Notes et références
Catégorie:Théorie des anneaux