En mathématiques, le « master theorem » de Ramanujan (littéralement, « théorème maître », dû à Srinivasa Ramanujan, et trouvé dans ses carnets après sa mort.) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d'une fonction analytique.

Énoncé du théorème Sous des hypothèses qui ont été précisées par Hardy, et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :

Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.

Autres formes du théorème Une autre forme du master theorem est :

qui revient à la précédente par la substitution , en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.

L'intégrale précédente est convergente pour (si vérifie des conditions de croissance convenables.).

Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré d'attention..

Démonstration de Hardy Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy., utilisant le théorème des résidus et le .

Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci :

pour

est analytique pour

a une décroissance exponentielle sur la droite verticale

Pour soit . La décroissance exponentielle de implique que g est analytique sur .

De plus le théorème des résidus donne que pour , . Donc g est en fait le prolongement analytique de f.

Enfin comme est bornée, par inversion de Mellin, on a : pour .

Exemples Application à la fonction zêta de Hurwitz La série génératrice des polynômes de Bernoulli est :

Utilisant la fonction zêta de Hurwitz , on a pour .

Le master theorem permet alors d'obtenir. la représentation intégrale : , si .

Application à la fonction gamma En utilisant la définition de Weierstrass : , équivalente à (où est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors : (pour ).

En particulier, pour et , on obtient

, résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7.

Généralisations Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique (par le biais de diagrammes de Feynman)..

Notes et références

Liens externes

Une présentation du master theorem et de ses applications, sur le site de Armin Straub.

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