En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et de la conjecture de Catalan, d'où son nom. La conjecture stipule que l'équation :
a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux strictement positifs et m, n, k sont des entiers strictement positifs satisfaisant
Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont égaux à 2 (telle que les triplets pythagoriciens).
En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues :
La première (1m+23=32) est la seule solution où l'un de a, b ou c vaut 1, selon la conjecture de Catalan, prouvée en 2002 par Preda Mihăilescu. Alors que ce cas conduit à une infinité de solutions de (1) (puisque nous pouvons choisir n'importe quel m pour m > 6), ces solutions ne donnent qu'un seul triplet de valeurs (am, bn, ck).
On sait par le théorème de Darmon-Granville, qui utilise le théorème de Faltings, que pour tout choix d'entiers fixés positifs m, n et k satisfaisant (2), il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a, b, c) solutions de (1); mais la conjecture de Fermat-Catalan est une affirmation beaucoup plus forte, puisqu'elle permet une infinité d'ensembles d'exposants m, n et k.
La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan.
La conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de Fermat-Catalan utilisent une fois 2 comme exposant.
Voir aussi
Équation de Fermat généralisée Dernier théorème de Fermat
Références
Fermat Catégorie:Équation diophantienne Catégorie:Pierre de Fermat