Le problème de Brocard est un problème de théorie des nombres consistant à trouver des valeurs entières de et solutions de l'équation diophantienne :
,
où est la factorielle de . Il a été posé par Henri Brocard dans deux articles de 1876 et 1885, et reposé indépendamment en 1913 par Srinivasa Ramanujan.
Nombres de Brown Les couples d'entiers solutions du problème de Brocard sont appelés des nombres de Brown. Il n'y a que trois couples connus de nombres de Brown : (4,5), (5,11) et (7,71) ; voir .
Paul Erdős a conjecturé qu'il n'existe pas d'autres solutions. Overholt, en 1993, a montré qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions, à condition que la conjecture abc soit vraie. Berndt et Galway en 2000 ont effectué des calculs pour ＜ 109 et n'ont trouvé aucune solution supplémentaire. Matson a affirmé en 2017 avoir étendu ces calculs à 1012. En 2020, ces calculs (utilisant la détermination de résidus quadratiques modulo de grands nombres premiers) ont été étendus à 1015 par Epstein et Glickman ..
Variantes du problème Dabrowski a généralisé le résultat d'Overholt en 1996 en montrant qu'il découlerait de la conjecture abc que
ne possède seulement qu'un nombre fini de solutions, pour un nombre entier donné . Ce résultat a été encore généralisé par Luca (2002), qui a montré (en supposant encore une fois la conjecture abc réalisée) que l'équation
a seulement un nombre fini de solutions entières pour un polynôme donné de degré au moins 2 à coefficients entiers.
Cushinge et Pascoe ont montré en 2016 qu'il découlerait de la conjecture abc que
a seulement un nombre fini de solutions, où est un nombre entier et est un nombre puissant.
Notes et références
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Liens externes
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