La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Leonard James Rogers en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

Définition Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

et

où représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et 2F1 est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS et , respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

Fonctions modulaires Si , alors et , ainsi que leur quotient , sont des fonctions modulaires de . Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque est de la forme , sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

Exemples

où est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier).

Liens avec les formes modulaires peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant ) Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf :

Liens avec le j-invariant Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

où

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de :

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre et a pour conséquence

Soit ; alors

où

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique , paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire .

Équation fonctionnelle

On pose désormais systématiquement , avec q = e2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9) le nombre d'or :

.

On a d'autre part .

Équations modulaires

Il y a des relations modulaires entre et , particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction" . :

Soit et ; alors :

Pour ,

Pour ,

Pour ,

Pour ,

De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour se retrouvent dans le cas , puisque :

Autres résultats

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q) Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction". Posant , , et le nombre d'or,

si , alors

si , alors

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

où

Posant , on a

Notes et références

Voir aussi Bibliographie

Liens externes

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