vignette|Graphe de . En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation tient dans des cas particuliers, tels que
Histoire L'équation est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec les seules solutions d'entiers naturels sont et bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach () contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant . Une solution similaire a été trouvée par Euler.
J. van Hengel a souligné que si sont des entiers positifs avec alors il suffit donc d'envisager les possibilités et afin de trouver des solutions entières.
Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition. qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques..
Solutions réelles positives
Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par .
Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant et en posant . Ainsi,
En élevant les deux côtés à la puissance et en divisant par ,
Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont
Avec ou cela génère les solutions non-triviales entières, .
Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite . Ceci est fait en remplaçant avec , ainsi
Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque .
Références
traduction de :
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