Logarithmes musicaux

Les logarithmes musicaux sont un moyen de mesure fine des intervalles musicaux par les logarithmes.

En langage courant, on parle souvent d'additions d'intervalles, disant par exemple qu'une tierce majeure plus une tierce mineure forment une quinte alors que, du point de vue de la physique, il s'agit de multiplier les rapports (qu'ils soient de longueurs de cordes, ou de fréquences, etc.), par exemple 5/4 x 6/5 = 3/2. Si les représentations logarithmiques des intervalles semblent à première vue complexes, elles sont en réalité plus intuitives. Notre perception des sons est elle-même logarithmique (voir Loi de Weber-Fechner).

Histoire thumb|Logarithmes musicaux L'intérêt pour l'utilisation musicale des logarithmes est presque aussi ancien que les logarithmes eux-mêmes, inventés par John Napier en 1614Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge, The University Press. Dès 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) décrit dans une lettre à Athanasius Kircher l'usage des logarithmes à base 2 en musiqueRamon Ceñal, « Juan Caramuel, su epistolario con Athanasio Kircher, S.J. », Revista de Filosofia XII/44, Madrid 1954, 134 sq. J. Murray Barbour, Tuning and Temperament, East Lansing, 1951, p. 3, décrit Caramuel comme "l'inventeur des logarithmes musicaux".. Dans cette base, l'octave vaut 1, le demi-ton 1/12, etc. Les logarithmes avaient été utilisés aussi probablement par Descartes vers 1635 et par Nicolaus Mercator avant 1657Benjamin Wardhaugh, "Musical logarithms in the seventeenth century: Descartes, Mercator, Newton", Historia Mathematica 35/1 (2008), p. 19-36, en ligne: Wardhaugh. Juan Caramuel publie en 1670 une image (ci-contre) qui montre, sur trois octaves de l'échelle diatonique, outre les noms des notes en notation alphabétique et en syllabes de solmisation et les longueurs de cordes qui leur correspondent, les cologarithmes népériens (Logarithmi Neperi & Kepleri)En fait si x est la longueur de corde on peut vérifier que la valeur est égale à 100 fois le cologarithme népérien de x/10000 soit 100 fois le logarithme népérien de 10000/x et pour la colonne du cologarithme décimal la valeur est égale à 6 + log(10000/x). Pour la colonne du logarithme binaire la valeur est égale à log2(1024/x)., les logarithmes décimaux (Logarithmi Briggi & Kepleri), les cologarithmes décimaux (Logarithmi perfecti), les logarithmes musicaux (Logarithmi Musici, logarithmes binaires) et le nom des intervallesL'ouvrage est disponible sur Google Books ; voir J. Murray Barbour, « Musical Logarithms », Scripta mathematica VII (1940), p. 27-28..

Sauveur publie un système logarithmique musical dans ses Principes d'acoustique et de musique, de 1701Joseph Sauveur, Principes d'acoustique et de musique ou Système général des intervalles des sons, Genève, Minkoff, 1973, 68- ; voir en ligne Mémoires de l'Académie royale des sciences, 1700, Acoustique [archive] ; 1701 Acoustique [archive]., fondé sur l'utilisation des logarithmes à base 10, probablement parce que les tables en étaient disponibles ; il a utilisé des logarithmes calculés avec trois décimales. Le logarithme décimal de 2 vaut approximativement 0,301, que Sauveur propose de multiplier par 1000 pour obtenir des unités valant 1/301 d'octave. Comme 301 est le produit de deux nombres premiers, 43 et 7, il suggère de prendre des unités d'un quarante-troisième d'octave, qu'il appelle « mérides », divisées en , les « heptamérides ». Il a envisagé aussi la possibilité de diviser chaque heptaméride en 10 « décamérides », mais il ne fait pas lui-même réellement usage de cette unité microscopique ; voir en ligne Mémoires de l'Académie royale des sciences, 1700, Acoustique ; 1701 Acoustique.. Il propose d'utiliser ces unités pour la mesure de « systèmes orientaux », ce qui l'a fait considérer parfois comme le créateur de l'ethnomusicologieNicolas Meeùs, « Joseph Sauveur ; Principes d'acoustique et de musique, Lexikon Schriften über Musik, Band I, Musiktheorie von der Antik bis zur Gegenwart, Kassel, Bärenreiter, 2017, p. 440-443..

Au début du Gaspard de Prony propose Il crée une échelle logarithmique à base , dans laquelle l'unité correspond à un demi-ton du tempérament égalGaspard de Prony, Instruction élémentaire sur les moyens de calculer les intervalles musicaux, sur Gallica.. L'unité est plus tard connue sous le nom de prony.

Alexander John Ellis décrit en 1880 un nombre élevé de diapasons anciens qu'il avait relevés ou calculés. Il indique l'intervalle en demi-tons avec deux décimales, c'est-à-dire avec une précision au centième de demi-ton, qui les sépare d'un diapason grave théorique, la3 = , pris comme point 0 de référenceAlexander John Ellis, "On the History of Musical Pitch", Journal of the Society of Arts, 1880, republié dans Studies in the History of Musical Pitch, Frits Knuf, Amsterdam, 1968, 11-62.. Il publie en 1885 (Des échelles musicales de différentes nations ), dans lequel il compare les intervalles, exprimés cette fois en centièmes de demi-ton, d'échelles musicales décrites par diverses théories musicales non européennes.. La musicologie comparée, qui s'intitule ethnomusicologie depuis le milieu du , utilise largement cette unité à laquelle Ellis a donné le nom de cent.

En référence à Félix Savart, le nom de « savart » a été donné en 1902 par A. Guillemin au logarithme décimal de l'intervalle qui s'exprime par le rapport 10/1, soit trois octaves et une tierce majeure pure – le logarithme décimal de 10 est évidemment 1; Guillemin propose aussi l'expression "millisavart" pour le millième du savartÉchelle universelle des mouvements périodiques, graduée en savarts et millisavarts, Note de M. A. Guillemin, présentée par M. J. Violle, séance du 28 avril 1902, Comptes-rendus hebdomadaires des séances de l'académie des sciences, tome 134, 1902, p. 980-982. Note de A. Guillemin sur Gallica. Guillemin ne mentionne pourtant pas l'heptaméride, dont il n'avait peut-être pas connaissance. Voir aussi Nicolas Meeùs, « Qu'est-ce qu'un savart ? », Musurgia, vol. XXX, no 4, 2023, p. 35-50.. Guillemin ne précise pas avec combien de décimales il faut calculer le logarithme des autres intervallesIl écrit cependant que le demi-ton vaut « plus exactement 25σ [millisavarts] + 1/12 », où σ veut dire « millisavarts », ce qui équivaudrait à 301 savarts dans l'octave., de sorte que la valeur exacte du millisavart varie selon les sources. La Revue d’Acoustique propose en 1932 dans un « Vocabulaire acoustique » d'arrondir l'ancien millisavart, appelé désormais savart, à 1/300e d'octaveRevue d'Acoustique, vol. I, fascicule 2 (mai 1932), p. 90. Alexander Wood, The Physics of Music, Londres 1944, rééd. 2007, p. 53-54, considère la même valeur.. Émile Leipp donne cinq chiffres significatifs, donc dans l'octaveÉmile Leipp, Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles, Masson, 1989, , 16..

D'autres subdivisions basées sur le logarithme décimal avaient été proposées auparavant, notamment la division de l'octave en (soit le logarithme décimal de 2), appelée jot par le mathématicien anglais Auguste De Morgan (1806 - 1871)A. J. Ellis, Appendix XX, in Helmholtz, On the Sensations of Tone, p 437. Voir aussi Jot sur Tonalsoft..

Définitions des unités

Principe de base

L'écart des fréquences de deux notes distantes d'une octave correspond à un rapport de 2 à 1. Ainsi, si la3 du diapason actuel est fixé à , la2, plus grave d'une octave, a une fréquence de , et la4, plus aigu d'une octave, . On définit encore en descendant vers les graves la1 à et la0 à et en montant dans les aigus la5 à . Il en résulte une progression exponentielle des fréquences et à l'inverse une perception logarithmique des intervalles de notes : des différences de fréquence de plus en plus grandes à mesure que l'on monte (55, 110, 220, 440, 880, 1760 Hz) sont perçues comme égales. C'est pourquoi on utilise le rapport de fréquence qui reste toujours invariable pour un même intervalle. Or une fonction logarithmique transforme par définition un rapport en différence ce qui facilite la représentation et le calcul des intervallesOn pourrait d'ailleurs faire remarquer que le clavier du piano est à peu près une échelle logarithmique matérialisée à la seule différence qu'il s'agit d'une échelle diatonique où les tons et les demi-tons de la gamme de do majeur sont représentés par une même largeur des touches blanches..

La formule la plus générale pour le calcul de la valeur logarithmique d'un intervalle est où l est la valeur logarithmique recherchée, K une constante déterminant l'unité logarithmique utilisée, le type de logarithme (par exemple log, le logarithme décimal, ou , le logarithme binaire, etc.) et le rapport numérique qui décrit l'intervalle dont on veut connaître le logarithmeAlexander Wood Acoustics, Londres, 1923; réimpr. 1962, p. 316.. Par exemple, , le logarithme décimal du rapport d'octave, vaut environ 0,30103. Pour obtenir des savarts, il faut multiplier cette valeur par K=1000. Le résultat est donc 301,03. Pour obtenir des cents, il faut choisir plutôt le logarithme binaire () dans lequel, par définition, le rapport d'octave vaut 1, et multiplier cette valeur par K=1200. Pour le rapport de quinte (3/2), on aurait , à multiplier par 1000 pour obtenir 176 savarts ; ou , à multiplier par 1200 pour obtenir 702 cents.

Pour passer du logarithme décimal au logarithme binaire, il faut diviser le premier par log(2)Voir Logarithme#Changement_de_base..

Pour retrouver le rapport de fréquence il faut appliquer la fonction exponentielle réciproque de même base que le logarithme utilisédonc l'exponentielle de base 2 ou 10 pour le logarithme binaire ou décimal soit 2x pour une valeur x d'intervalle exprimée en octaves ou 2x/1200 pour une valeur exprimée en cents ou 2x/12 pour une valeur exprimée en pronys ou 10x/1000 pour une valeur exprimée en savarts..

L'heptaméride et le savart

Dans les deux cas, la constante est K=1000 et le logarithme est décimal. Ces logarithmes, en d'autres termes, sont égaux à 1000 fois le logarithme décimal du rapportDave Benson, « Music: a mathematical offering », 158, Department of Mathematics, Meston Building, University of Aberdeen, Aberdeen AB24 3UE, Scotland, UK. :

La différence entre l'heptaméride et le savart tient au nombre de décimales : l'heptaméride est fondé sur le logarithme décimal calculé avec trois décimales, alors que la définition du savart demeure imprécise, variant de trois à cinq décimales (ou plus)Joseph Sauveur aurait probablement pu définir l'heptaméride par la fonction 301 fois le logarithme binaire mais à l'époque au XVIIIème siècle la table de logarithme binaire n'existait pas encore. Or cette fonction 301 log2 est presque équivalente à mille fois le logarithme décimal si bien que l'approximation à un chiffre après la virgule donne des valeurs identiques. Par exemple 1000 log 2 = 301,03 ~ 301,0 = 301. Voilà sans-doute pourquoi l'arrondi était de rigueur pour des valeurs exprimées en heptamérides mais calculées avec le logarithme décimal.. Quand une note est à l'octave d'une autre, le rapport . Avec 5 décimales, le logarithme décimal de 2 vaut 0,30103, donnant dans l'octaveÉmile Leipp, Acoustique et musique : Données physiques et technologiques, problèmes de l'audition des sons musicaux, principes de fonctionnement et signification acoustique des principaux archétypes d'instruments de musique, les musiques expérimentales, l'acoustique des salles, Masson, 1989, 4e éd., p.16. Il faut ajouter que jusqu'à huit décimales, l'arrondi du logarithme demeure le même.. Mais cette valeur est souvent arrondie à 301 ou même à 300Alexander Wood, The Physics of Music, Londres, 1944, rééd. 2007, 53-54.Dans ce cas la fonction est 301 ou 300 fois le logarithme binaire..