En mathématiques, les séries hypergéométriques basiques de Heine, ou q-séries hypergéométriques, sont des généralisations q-analogues des séries hypergéométriques généralisées, à leur tour étendues par les séries hypergéométriques elliptiques. Une série est appelée hypergéométrique si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle de . Si le rapport de deux termes successifs est une fraction rationnelle en , alors la série est dite hypergéométrique basique, et le nombre est appelé base.
La série hypergéométriques basique a d'abord été introduite par . On retrouve la série hypergéométrique à la limite si la base q vaut 1.
Définition Il existe deux formes de séries hypergéométriques basiques, les séries hypergéométriques basiques unilatérales , et les plus générales, les séries hypergéométriques basiques bilatérales .
Les séries hypergéométriques basiques unilatérales sont définies par
avec
et
est le q-symbole de Pochhammer.
Le cas spécial le plus important correspond à , où on obtient
Cette série est dite balancée si . Elle est dite bien équilibrée si , et très bien équilibrée si on a en plus .
La série hypergéométrique basique unilatérale est une q-analogue de la série hypergéométrique dans le sens où elle vérifie
Les séries hypergéométriques basiques bilatérales, correspondant aux séries hypergéométriques bilatérales, sont définies par
Le cas spécial le plus important correspond à , où elle devient
Les séries unilatérales peuvent être obtenues comme un cas particulier des bilatérales en fixant une des variables égales à , au moins quand aucune des variables est une puissance de , car alors tous les termes correspondant à s'annulent dans ce cas.
Cas simples Parmi les cas les plus simples, on trouve
et
et
Le théorème q-binomial Le théorème q-binomial (publié pour la première fois en 1811 par Heinrich August Rothe.. établit que
qui s'obtient en appliquant à plusieurs reprises l'identité
Le cas spécial est liée à la q-exponentielle.
Théorème binomial de Cauchy Le théorème binomial de Cauchy est un cas spécial du théorème q-binomial.
avec le coefficient q-binomial :
Identité de Ramanujan Srinivasa Ramanujan a posé l’identité
vraie pour tout et . Des identités similaires pour ψ ont été données par Bailey. De telles identités peuvent être vues comme des généralisations du théorème de triple produit de Jacobi, qui peuvent être écrites par des q-séries par
Ken Ono donne une série entière liée :
Intégrale de contour de Watson Comme analogue de l' pour la série hypergéométrique, Watson a montré que
où les pôles de sont sur la gauche du contour et les pôles restants sur la droite. Il existe une intégrale de contour similaire pour .
Cette intégrale de contour donne un prolongement analytique continu de la fonction hypergéométrique basique en .
Voir aussi Identité de Dixon Identités de Rogers-Ramanujan
Notes
Liens externes
Références
Catégorie:Fonction remarquable Catégorie:Combinatoire