vignette|Gravure du illustrant Archimède dans sa baignoire, avec la couronne de Hiéron en bas à droite.|alt=Homme s'immergeant dans une baignoire en bois installée dans une pièce.

La pesée de la couronne du roi par Archimède est un épisode réel ou apocryphe de la vie du savant grec Archimède relaté par Vitruve (), et au cours duquel le savant aurait poussé le cri « Eurêka » (en grec ancien : ).

L'esprit occupé par la demande formulée par , roi de Syracuse, de prouver la malversation d'un orfèvre ayant remplacé une part d'or par de l'argent dans une couronne, Archimède s'aperçoit que l'eau déborde de sa baignoire lorsqu'il s'y plonge. Il lui vient alors soudainement la solution pour prouver le vol et il s'élance dans la rue, nu, en criant « Eurêka ». Une autre version de l'histoire donnée par Ménélaos d'Alexandrie ne mentionne pas le passage avec la baignoire. Ce récit, dont l'authenticité et la précision sont discutées, donnerait le contexte qui aurait poussé Archimède à s'intéresser à l'étude des fluides immobiles et à être à l'origine de l'hydrostatique.

Ce récit est utilisé par Vitruve et Plutarque pour illustrer des argumentations. Il a participé à la création de la figure emblématique d'Archimède et au mythe des grandes découvertes.

Le terme Eurêka connaît une grande postérité dans de multiples domaines. Il est une parole de contentement employée lorsque la solution d'un problème est trouvée. Le moment Eurêka, type d'expérience de prise de conscience soudaine, est associé à certaines découvertes scientifiques.

Le récit Archimède et les lois de l'hydrostatique Archimède est le fondateur de l'hydrostatique, l'étude des fluides immobiles. Un exposé de ses principes se trouve dans son livre Sur les corps flottants. La poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps placé entièrement ou partiellement dans un fluide (liquide ou gaz) et soumis à un champ de gravité. La force verticale ascendante que subit l'objet définit la flottabilité d'un corps.... Archimède ne mentionne pas comment il est arrivé à ses résultats.

Version de Vitruve vignette|Archimède s'élançant par les rues de Syracuse en s'écriant « Eurêka ! ». Couverture de La Science populaire du .|alt=Homme barbu partiellement nu courant au milieu des passants.|gauche Selon Vitruve, les découvertes d'Archimède sont le résultat d'évènements dont il fait le récit dans son . Il s'agit de la plus ancienne version de l'histoire...

Après une campagne militaire réussie, ( - ), roi de Syracuse, commande à un orfèvre une couronne votive en or pur pour remercier les dieux. L'artiste remet au souverain une couronne correspondant au poids de l’or qu'il lui avait remis. Mais le roi soupçonne l'artisan d'avoir remplacé une partie de l'or par de l'argent. Ne sachant comment prouver le vol sans endommager la couronne, il fait appel aux capacités de réflexion d’Archimède.

Un jour qu'occupé par cette pensée, Archimède se prélasse dans une baignoire des bains publics, il s'aperçoit que l'eau passe par dessus les bords. Il y voit l'explication de son problème et, tout à sa joie, s'élance hors de la baignoire et regagne tout nu son logis en s’exclamant : (Eurêka ! Eurêka !).

Le savant grec fait confectionner deux masses du même poids que la couronne, l'une d'or et l'autre d'argent. Il plonge dans un premier temps la masse d'argent dans un grand vase rempli d'eau à ras bord. Il mesure ensuite le volume d'eau qui s’est échappé. Il renouvelle l'expérience avec la masse d'or une fois le vase rempli comme auparavant. Il s'aperçoit que le volume d'eau manquant est moindre et correspond à la différence de volume entre la masse d’or et la masse d'argent. Le vase, rempli une troisième fois, reçoit cette fois-ci la couronne. Elle fait sortir plus d'eau que la masse d'or du même poids n'en avait fait sortir. Il calcule cette différence et découvre ainsi la quantité d'argent qui a été mêlée à l'or et donc celle de l'or qui a été volé...

Version de Ménélaos d'Alexandrie Le mathématicien Ménélaos d'Alexandrie, à la fin du ou au début du , fournit un autre récit de l'épisode de la couronne.

Le roi reçoit un jour en cadeau une grande couronne. Constatant qu'elle était un mélange d'or et d'argent, il voulut savoir les quantités respectives des matériaux la composant sans la briser. Il interroge à ce propos des spécialistes de géométrie et de mécanique. Seul Archimède, qui fait partie de la compagnie de Hiéron, y parvient. Il emploie pour cela un procédé qui, selon Ménélaos d'Alexandrie, n'a pas été enregistré mais dont il a eu écho et qu'il souhaite retrouver..

Authenticité du récit de Vitruve L'exactitude du récit de Vitruve est mise en doute par Galilée dans son traité de La balance hydrostatique écrit en 1586. L'histoire lui paraît être le résultat de ouï-dire rapportés à un écrivain n'ayant pas connaissance de tous les faits, car la méthode n'est pas assez précise . Au début du , le mathématicien américain Chris Rorres remarque que la méthode volumétrique est théoriquement correcte, mais que la tension superficielle et l'adhérence de l'eau, les bulles d'air au contact des objets et le très faible différentiel de volume d'eau peuvent rendre le volume d'un objet léger comme une couronne impossible à mesurer. Il suppose cependant une part de vérité dans le récit et la réalité de sa découverte au sujet de la flottabilité..

Au contraire de ses prédécesseurs, pour Kuroki Hidetaka, la mesure du volume d'eau déplacé par une couronne d'or est possible avec suffisamment de précision par la méthode proposée dans de Vitruve, bien qu'il manque des détails. Elle nécessite de recueillir l'eau ayant débordé d'un récipient à bec verseur pour s'affranchir en partie de la tension superficielle et de l'adhérence de l'eau. En la pesant avec une balance, faute de verre doseur suffisamment précis durant l'Antiquité, Archimède peut prouver le vol.. Au moment Eurêka, le savant grec aurait trouvé la densité des objets. En mesurant par le même moyen divers solides et liquides, il serait ensuite arrivé à la loi de la flottabilité ou poussée d'Archimède..

vignette|Exemple de balance hydrostatique : étant donné que la couronne (à gauche) et le poids de référence (à droite) ont tous deux la même masse, l'objet de référence le moins dense subira une force de flottabilité ascendante plus importante, ce qui lui permettra de peser moins dans l'eau et de flotter plus près de la surface.|alt=Schémas figurant une balance avec à chaque extrémité un objet, dans l'air, puis dans l'eau.

À la fin du ou au début du , Ménélaos d'Alexandrie rapporte la contribution d’un certain Mānātius , dans un livre dédié à Germanicus (-19 ). Il y a écrit au sujet de la densité et de la légèreté des substances, et a eu recours à une balance hydrostatique pour calculer les proportions des matériaux dans un alliage d’or et d’argent. Ménélaos rapporte le procédé de ce dernier, dans un livre au titre explicite : Exposé de la balance d’Archimède et son utilisation. Il y explique que cette méthode n’est pas valable pour un alliage composé de plus de deux substances. La balance hydrostatique proposée ne peut en outre être utilisée qu'en plongeant l'alliage dans un liquide homogène et isotrope.. Le procédé utilise une balance à deux plateaux dont la position est réglable sur le fléau pour comparer le poids sec d'un objet avec le poids du même objet immergé dans l'eau..

On retrouve l'usage de ce procédé avec une balance, attribué à Archimède, sans la mention du bain ni du mot Eurêka, dans le de Remius Favinus, un poème hexamétrique sur les poids et mesures de la fin du de notre ère.. De nombreux siècles plus tard, un traité médiéval du ou intitulé Le livre d'Archimède sur les corps flottants, sans mentionner de balance, préconise le pesage dans l'air et dans l'eau.. À la fin du , en s'appuyant sur le seul texte de Vitruve, Galilée suggère également la conception d'une balance hydrostatique et croit possible que cette méthode soit celle qui fut employée par Archimède.. Elle a l'avantage de combiner la loi de la poussée d'Archimède et sa loi du levier.. Trois ans après Galilée, Giambattista della Porta, commentant l'épisode de la baignoire, reprend cette idée de la balance hydrostatique..

Figure d'Archimède Figure emblématique Cicéron, admirateur de la pensée grecque, est probablement à l'origine de l’engouement des Romains pour Archimède en ayant fait de ce personnage dans ses écrits, les et , la figure emblématique du savant grec.. Archimède travaille à expliquer des phénomènes naturels de façon mathématique, sans avoir recours au mythe.. Pour Cicéron, les Romains sont les légataires de la science grecque par leurs victoires militaires sur ces derniers.. Des épisodes de sa vie et des phrases célèbres, réels ou apocryphes, l'ont rendu célèbre auprès du grand public dès l'Antiquité.

alt=Gravure figurant Archimède courant nu dans les rues à la sortie de son bain|vignette|Frontispice de l'ouvrage , par Giammaria Mazzuchelli, publié à Brescia (Italie) en 1737. Gravure de Carlo Orsolini d'après une œuvre de Pietro Scalvini.|gauche

Vitruve, grand lecteur de Cicéron, fait d'Archimède, dans son , un être hors du commun et compose ce qui constitue le plus ancien récit de l’épisode de la baignoire d’Archimède. Vitruve se trouve des points communs avec le savant grec qui, comme lui, est et a été ingénieur militaire.. On ne sait pas si Vitruve a inventé l'historiette de la couronne du roi , qui connaît un immense succès, notamment à partir de la Renaissance, ou l'a empruntée à une source plus ancienne, mais il l'utilise avec d'autres anecdotes comme exemplum pour illustrer le processus de l'inventio, c'est-à-dire l'art de trouver des arguments et des procédés pour convaincre, commun à tous les arts.. Vitruve emprunte à Cicéron l'idée que la démarche heuristique amenant à la .. Archimède est le parangon du découvreur car il parvient à transformer en système ou en méthode une réalité naturelle et à donner une application concrète..

Selon Mary Jaeger, les mentions d'Archimède et d'autres savants dans l'ouvrage de Vitruve sont utilisées par ce dernier pour faire valoir que l'excellence intellectuelle mérite autant de récompense que les prouesses athlétiques. Archimède nu et courant dans les rues serait à l'esprit ce que les athlètes victorieux sont au corps.. Dans le même temps, Vitruve ferait d'Archimède le personnage type de l'esclave courant dans la comédie , la course d’Archimède à travers la ville ayant pu être interprétée par les Romains comme une version comique d’un tour de victoire, dans une nudité publique scandaleuse, faisant d’Archimède l’esclave et d’Hiéron le maître.. Cette thèse ne convainc pas certains spécialistes. comme Stamatina Mastorakou pour qui il apparaît clairement qu'Archimède est traité comme un scientifique par Hiéron dans les différents épisodes de la vie du savant..

Figure mythique