Le théorème de Sokhotski–Plemelj en analyse complexe permet l'évaluation d'intégrales de Cauchy. Il a été démontré par Julian Sokhotski en 1873 et redécouvert par Joseph Plemelj en 1908 dans sa résolution du .
Le théorème
Soit C un contour fermé régulier du plan et f une fonction analytique sur C. L'intégrale de Cauchy
définit deux fonctions analytiques : - à l'intérieur du domaine défini par C - hors de ce domaine On peut ainsi résoudre les problèmes où l'on impose sur C : - un saut - une valeur - une relation du type Ce dernier cas constitue le problème de Riemann-Hilbert.
Cas particulier
Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur l'axe réel, et soient et deux valeurs réelles telles que < 0 < . Alors
Un exemple en physique
En mécanique quantique et théorie quantique des champs on doit évaluer des intégrales du type :
où E est une énergie et t le temps. Cette intégrale en temps ne converge pas et on la remplace par :
Par application du cas particulier ci-dessus du théorème
Références
Voir aussi Transformée de Hilbert
Catégorie:Théorie de l'intégration Cauchy (formule integrale)