En mathématiques, le théorème d'Erdős est un théorème en théorie des nombres. Il revient à l'important mathématicien hongrois Paul Erdős.
Le théorème est lié à une conjecture formulée en 1849 par le mathématicien français Alphonse de Polignac (1817–1890), énonçant que tous les entiers naturels impairs possèdent une représentation de la forme , où est un entier naturel et un nombre premier, ou .
Grâce à son théorème, Erdős a réussi à démontrer que la conjecture de Polignac est erronée dans de nombreux casSierpiński: S. 445..
Énoncé Le théorème peut être énoncé comme suit:
Il existe une suite arithmétique composée d'une infinité d'entiers naturels impairs , ne s'écrivant pas de la forme , où est un entier naturel, et un nombre premier ou égal à 1.
Lemme de la démonstration La démonstration du théorème est basée sur le lemme élémentaire suivant:
Chaque entier naturel respecte au moins l'une de ces six congruences. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
Il s'ensuit que pour l'une des six autres congruences doit être respectée, à l'aide de laquelle on démontre le théorème d'Erdős en utilisant le théorème des restes chinois.
Bibliographie
Références
Erdos Catégorie:Conjecture réfutée