La théorie des perturbations est un domaine des mathématiques, qui consiste à étudier les contextes où il est possible de trouver une solution approchée à une équation en partant de la solution d'un problème plus simple. Plus précisément, on cherche une solution approchée à une équation (dépendante d'un paramètre ), sachant que la solution de l'équation (correspondant à la valeur ) est connue exactement. L'équation mathématique peut être par exemple une équation algébrique ou une équation différentielle. La méthode consiste à chercher la solution approchée de l'équation sous la forme d'un développement en série des puissances du paramètre , cette solution approchée étant supposée être une approximation d'autant meilleure de la solution exacte, mais inconnue, que la valeur absolue du paramètre est plus « petite ».
Généralités Histoire Dès le début du , la théorie des perturbations a été utilisée par les astronomes pour les besoins de la mécanique céleste : en effet, les équations différentielles décrivant un système de corps en interaction gravitationnelle n'a pas de solution exacte généraleIl existe en fait une solution exacte du problème des trois corps découverte par Sundman (1909). Cette solution exacte, sous la forme d'un développement en série formelle, n'est en pratique pas exploitable, car si la série converge bien « au sens des géomètres », elle le fait si lentement que cela rend son pouvoir prédictif quasi nul. Lire : Malte Henkel ; Sur la solution de Sundman du problème des trois corps, Philosophia Scientiae 5(2) (2001) pp. 161-184. Texte complet disponible sur l'ArXiv : physics/0203001. pour . Cet aspect de la théorie des perturbations a été synthétisé à la fin du dans les ouvrages classiques de LaplacePierre-Simon Laplace ; Traité de mécanique céleste, Editions Jacques Gabay (1990). Réédition d'un ouvrage classique de la fin du , en 4 volumes. Niveau second cycle universitaire. Cet ouvrage est disponible en fac-similé sur Gallica., TisserandFrançois-Félix Tisserand ; Traité de mécanique céleste, Editions Jacques Gabay (1990). Réédition d'un ouvrage classique de la fin du , en 4 volumes. Niveau second cycle universitaire. Cet ouvrage est disponible en fac-similé sur Gallica. et Poincaré, avant de connaître de nouveaux développements dans la seconde moitié du avec l'avènement en 1954 de la « théorie KAM », du nom de ses trois concepteurs : Kolmogorov, Arnold et Moser.
La méthode a par ailleurs été abondamment utilisée au pour les besoins de la physique quantique, d'abord en mécanique quantique non relativiste, puis en théorie quantique des champs perturbative.
Convergence de la série perturbative ? On a vu qu'on cherchait ici la solution approchée de l'équation sous la forme d'un développement en série des puissances du paramètre ; la question de la convergence de cette série se pose alors. Ce problème a été réglé pour l'astronomie par Poincaré en 1892 : la « série » de perturbation doit être comprise mathématiquement comme un développement asymptotique au voisinage de zéro, et non comme une série ordinaire convergente uniformément. Le chapitre VIII de la Mécanique céleste de PoincaréHenri Poincaré ; Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Gauthier-Villars (1892). commence par le commentaire suivant :
Pour conclure cette discussion qualitative sur la convergence, le mathématicien Jean-Pierre Ramis préciseJean-Pierre Ramis, Séries divergentes et théories asymptotiques, Journées X-UPS (1991). :
C'est d'ailleurs ce qui fait l'efficacité pratique de la théorie des perturbations en physique théorique : il suffit le plus souvent de calculer les quelques premiers termes du développement asymptotique - ceux qui semblent commencer par converger - pour obtenir une très bonne approximation du résultat exact inconnu. Ainsi, dans le cadre de l'électrodynamique quantique, Dyson a montré en 1948 que la série perturbative était divergente, alors que la prise en compte des trois ou quatre premiers termes seulement donne des prédictions théoriques en accord remarquable avec les résultats expérimentaux.
Notons qu'il existe certaines procédures de « sommation » qui permettent de donner un sens à certaines séries divergentes, comme la sommation de Borel ou l'approximant de Padé.
Un premier exemple élémentaire Position du problème Considérons à titre d'exemple l'équation différentielle d'ordre un suivante :
Dans cette équation, représente le temps, un paramètre fixé homogène à un temps, un paramètre fixé homogène à une longueur, et le paramètre de perturbation, sans dimensions. On cherche à déterminer la fonction inconnue, homogène à une longueur, et vérifiant la condition initiale : à l'instant t = 0, on a .
Théorie des perturbations au premier ordre
Le problème de départ de la théorie des perturbations est l'équation différentielle correspondant à la valeur :
dont la solution analytique exacte est bien connue :
où est une constante, pour l'instant inconnue. On illustre la méthode des perturbations en nous limitant pour simplifier au premier ordre dans le développement en série des puissances du paramètre ; on cherche donc la solution approchée sous la forme :
où est une fonction inconnue, à déterminer. On injecte cette expression dans l'équation différentielle exacte . En se limitant aux termes du premier ordre inclus et en utilisant le fait que est la solution exacte de , on obtient la solution physique approchée au premier ordre :
Comparaison avec la solution exacte On peut démontrer ici que l'équation différentielle vérifiant la condition initiale : admet pour toutes les valeurs du paramètre la solution exacte suivante :
Un développement limité de cette expression au premier ordre en donne explicitement la solution approchée déterminée au paragraphe précédent par la théorie des perturbations au premier ordre :
Pour visualiser l'écart entre la solution approchée et la solution exacte, on trace ci-dessous les graphes des deux fonctions pour une série de valeurs de allant de 0,1 à 0,5, en prenant : . en bleu, la solution exacte. en rouge, la solution approchée au premier ordre.
Un deuxième exemple : l'oscillateur de Duffing Définition et propriétés Définition L'oscillateur de Duffing satisfait à l'équation différentielle du second ordre suivante :
Dans cette équation, représente le temps, un paramètre fixé homogène à une pulsation, c’est-à-dire l'inverse d'un temps. est un paramètre fixé homogène à une longueur, et le paramètre de perturbation, sans dimensions. On cherche à déterminer la fonction inconnue, homogène à une longueur, et vérifiant les conditions initiales : à l'instant , on a et .
Interprétation physique On peut interpréter cette équation différentielle comme la loi de la dynamique de Newton d'une particule de masse soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle :
où le potentiel quartique s'écrit :
Caractère borné du mouvement Pour toutes les valeurs de positives ou nulles, représente un puits de potentiel. La conservation de l'énergie mécanique totale de la particule :
entraîne alors que le mouvement est borné dans un intervalle , où les points tournants et sont les deux solutions réelles de l'équation
Ordre zéro : l'oscillateur harmonique Le problème de départ de la théorie des perturbations est l'équation différentielle correspondant à la valeur :
Cette équation est par définition un oscillateur harmonique de pulsation , dont la solution analytique exacte est bien connue :
où et sont deux constantes, pour l'instant inconnues.
Théorie de perturbation naïve au premier ordre On cherche la solution approchée sous la forme :
où est une fonction inconnue, à déterminer. On injecte cette expression dans l'équation différentielle exacte . En se limitant aux termes du premier ordre inclus et en utilisant le fait que est la solution exacte de , on obtient l'expression au premier ordre de la théorie de perturbation :
Apparition d'un terme séculaire On constate que la perturbation contient un terme proportionnel au temps :
Ce terme non borné est appelé terme séculaire, du mot latin saeculum qui signifie siècle. En effet, pour les temps , la perturbation est bien d'ordre , c’est-à-dire petite. En revanche, pour des temps plus longs de l'ordre de , la perturbation devient d'ordre 1 et n'est plus petite ; le problème devient encore pire pour des temps encore plus longs : . Or nous savons que le mouvement réel est borné, donc que ne peut pas croître indéfiniment : notre théorie des perturbations « naïve » n'est donc plus valide.
Dans le cadre de l'astronomie, la présence de ces termes séculaires empêche d'étudier le futur à long terme des trajectoires planétaires, l'unité de temps caractéristique du problème étant le siècle.
Méthode de Lindstedt Lindstedt a proposé en 1882 une méthode qui, pour certaines équations différentielles, permet d'éliminer ces termes séculairesAnders Lindstedt ; Abh. K. Akad. Wiss. St. Petersburg 31 (1882), 4.Anders Lindstedt ; Sur la forme des expressions des distances mutuelles dans le problème des trois corps, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 97 (1883) 1276 et 1353. Ces deux notes sont disponibles en fac-similé sur Gallica.. On l'appelle aussi méthode de Lindstedt-Poincaré, Poincaré ayant démontré que les séries introduites par Lindstedt devaient être interprétées comme des expressions asymptotiquesHenri Poincaré ; Sur les séries de M. Lindstedt, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 108 (1889) 21-24. Cette note est disponible en fac-similé sur Gallica.Henri Poincaré ; Sur l'application de la méthode de M. Lindstedt au problème des trois corps, Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 114 (1892) 1305-1309. Cette note est disponible en fac-similé sur Gallica..
L'idée de Lindstedt est la suivante : dans certains cas, les termes séculaires peuvent être dus au fait que l'on développe incorrectement les expressions. Par exemple, supposons que le résultat exact soit :
Cette expression clairement bornée développée au premier ordre en donne :
et il apparaît un terme séculaire non borné. On voit que la solution exacte est en fait une fonction de la pulsation :
qui est légèrement différente de la pulsation initiale du problème. Lindstedt va utiliser cette remarque de façon systématique.
Principe de la méthode de Lindstedt La méthode de Lindstedt ne s'applique que pour les équations différentielles du type suivant :
où est une fonction paire de et impaire de qui est de plus soit périodique en , soit indépendante de . La méthode consiste à faire un changement d'échelle de temps en introduisant une nouvelle variable sans dimensions définie par le développement en série :
Dans cette expression, les valeurs numériques des constantes inconnues devront être choisies afin de faire disparaître les termes séculaires de la série perturbatrice de la solution approchée à l'ordre désiré.
Illustrons la méthode dans le paragraphe suivant avec l'oscillateur de Duffing.
Exemple : l'oscillateur de Duffing au premier ordre On a vu plus haut que l'équation différentielle de l'oscillateur de Duffing s'écrivait :
Faisons le changement d'échelle de temps et définissons la nouvelle fonction inconnue de la variable par :
La règle de Leibniz de dérivation en chaîne donne pour la dérivée première :
et pour la dérivée seconde :
Comme on a au premier ordre :
on obtient pour les dérivées :
L'équation différentielle de Duffing devient au premier ordre :
Introduisons maintenant dans cette équation différentielle le développement au premier ordre de la solution :
Il vient en développant selon les puissances de :
On a donc le système de deux équations différentielles :
La première a pour solution générale : où et sont deux constantes. On reporte alors cette expression dans la seconde équation différentielle, et on obtient pour la première correction :
On réutilise la formule trigonométrique :
d'où l'équation différentielle pour la fonction :