En mathématiques, un groupe hopfien ou groupe de Hopf est un groupe pour lequel tout épimorphisme est un isomorphisme. Le groupe des nombres rationnels est hopfien, le groupe des nombres réels ne l’est pas. Les groupes de Hopf sont nommés d'après le mathématicien Heinz Hopf.
Formulations équivalentes Un groupe est hopfien si et seulement s'il n'est pas isomorphe à l'un de ses quotients propres. Par ailleurs, un groupe est dit si tout monomorphisme est un isomorphisme.
Exemples de groupes hopfiens Tout groupe fini , par un argument de comptage simple. Plus généralement, un « », c'est-à-dire un groupe qui a un sous-groupe polycyclique d'indice fini. Tout groupe libre finiment engendré. Le groupe des nombres rationnels. Tout groupe finiment engendré qui soit résiduellement fini. Tout groupe hyperbolique. Le groupe de Cremona..
Exemples de groupes non hopfiens Les groupes de Prüfer. Le groupe des nombres réels Le groupe de Baumslag-Solitar B(2,3).
Indécidabilité
En 1969, Donald J. Collins a démontré qu'il est indécidable si un groupe, donné par une présentation finie, est hopfien. Contrairement à l'indécidabilité de beaucoup d'autres propriétés des groupes, ceci n’est pas une conséquence du théorème d'Adian-Rabin ; en effet, la propriété d'être hopfien n'est pas une propriété de Markov, comme démontré par Miller et Paul Schupp
Notes et références Notes
Références
Christophe Moioli, Graphes de groupes et groupes co-hopfiens, Théorie des groupes, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2013.
Liens externes page sur PlanetMath page sur l'Encyclopédie des Mathématiques Groupe isomorphe à un sous-groupe sur Les mathématiques.net
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