Le théorème de Poynting, énoncé en 1884 par John Henry Poynting, concerne la conservation de l'énergie dans un champ électromagnétique. Il établit une relation entre l'effet Joule, l'énergie électromagnétique et le flux du vecteur de Poynting dans un volume donné de l'espace. Ce théorème découle des équations de Maxwell.
En termes informels, on peut dire que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est égal à la somme de la variation d'énergie électromagnétique et de l'effet Joule dans le volume intérieur à la surface.
Histoire L'éponyme du théorème de Poynting est le physicien anglais John Henry Poynting (-) qui l'a établi à partir de deux des équations de Maxwell et l'a publié en .
Variation de l'énergie électromagnétique
Le théorème énonce que pour tout volume :
soit, sous forme locale, pour un volume
avec: , vecteur de Poynting , champ électrique , champ magnétique , densité de courant , permittivité du vide , perméabilité du vide
Démonstration à partir des équations de Maxwell
Le théorème de Poynting peut se démontrer à partir de l'équation de Maxwell-Ampère et de l'équation de Maxwell-FaradayDavid J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 8.1.2 : Poynting's Theorem..
Introduction
La puissance échangée par une charge électrique q avec un champ électromagnétique (E, B) est donnée par :
où v est la vitesse de la particule chargée, et où F est la force de Lorentz :
On en déduit :
Ce résultat indique que seul le champ électrique peut échanger de la puissance et donc de l'énergie avec la matière. La force magnétique ne peut pas fournir de travail à une particule chargée dans la mesure où elle est toujours orthogonale à son vecteur vitesse. En notant J la densité volumique de courant électrique, on peut donc affirmer que la puissance échangée par la matière contenue dans un volume V de l'espace avec le champ électromagnétique est donnée par :
Étape n°1 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Ampère
En considérant l'équation de Maxwell-Ampère :
on remarque que celle-ci nous permet d'exprimer la densité de courant J en tout point de l'espace en fonction des champs E et B :
La puissance échangée par la matière avec le champ électromagnétique est donc :
En développant, on obtient :
On peut ensuite utiliser l'identité vectorielle suivante :
ce qui nous donne :
Étape n°2 : Utilisation de l'équation de Maxwell-Faraday
Pour finir, on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :
On obtient :
Par ailleurs,
ce qui conduit à :
Finalement :
Vecteur de Poynting en milieu macroscopique Dans un milieu macroscopique, les effets électromagnétiques sont décrits par des champs moyennés dans l'espace (macroscopiques). Le vecteur de Poynting dans un milieu macroscopique peut être défini de manière cohérente avec la théorie microscopique, de telle sorte que le vecteur de Poynting microscopique moyenné dans l'espace soit prédit exactement par un formalisme macroscopique. Ce résultat est strictement valable dans la limite des faibles pertes et permet d'identifier sans ambiguïté la forme du vecteur de Poynting en électrodynamique macroscopique.
Formes alternatives Il est possible de tirer des versions dérivées du théorème de Poynting. Au lieu du vecteur flux , on peut utiliser, avec des calculs similaires, , la forme de Minkowski , ou même . Chaque choix représente la réponse du milieu de propagation à sa manière : la forme a la propriété d'avoir une réponse uniquement en présence de courants électriques, tandis que la forme ne consièdre que des courants créés par un monopôle magnétique (fictif). Les deux autres formes (Abraham et Minkowski) utilisent des combinaisons complémentaires de courants électriques et magnétiques pour représenter les réponses de polarisation et magnétisation du milieu.
Notes et références
Bibliographie . . . .
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Voir aussi Équations de Maxwell Vecteur de Poynting Formule de Larmor Force d'Abraham-Lorentz
Liens externes
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