En génie mécanique, le fonctionnement d'une machine comprend des mouvements dont l'étude peut globalement se résumer aux contraintes suivantes : Amener une pièce d'un point A à un point B en une durée T. Il peut s'agir du trajet d'un outil, d'un capteur ou bien d'une manutention (déplacement d'un objet).
À ce trajet s'ajoutent des contraintes : de résistance : les mécanismes doivent être sollicités le moins possible afin d'avoir la durée de vie la plus longue ; de consommation : l'énergie dépensée pour ce trajet doit être la plus basse possible. D'un point de vue mathématiques, il s'agit d'un problème d'optimisation.
Une loi de mouvement est une équation décrivant la manière dont doit se faire le mouvement.
D'un point de vue formel, la position et l'orientation d'une pièce dans l'espace est décrite par un vecteur X de dimension 6 ; dans un repère cartésien, les six composantes sont les trois coordonnées d'un point de la pièce et les trois angles d'Euler. La loi de mouvement est donc de la forme X = ƒ(t). le paramètre t étant le temps. Il peut s'agir d'un fonction analytique ou bien d'une suite discrète de valeurs ((X0, t0), (X1, t1)…, (Xn, tn)), un automate étant chargé de s'assurer que la pièce « soit au rendez-vous » des différents points.
La dérivation, analytique ou numérique, de cette fonction donne accès aux fonctions vecteurs vitesse et vitesse angulaire, accélération et accélération angulaire, à-coup et à-coup angulaire. À l'inverse, cette fonction X étant la primitive des fonctions précédentes, on peut l'obtenir par intégration d'une fonction vitesse ou accélération ou à-coup choisie a priori.
Par la suite, pour des raisons de simplification et sauf mention contraire, nous considérons que le mouvement est une translation rectiligne selon un axe x.
Limites physiques
La pièce à déplacer a une inertie ; les différentes pièces du mécanisme également. Outre l'inertie, les différents mouvements rencontrent des oppositions : résistance au glissement (frottement), résistance au roulement, travail mécanique utile (ce pourquoi on utilise l'outil). Le mécanisme doit donc fournir des efforts (principe fondamental de la dynamique, vaincre les résistances) et toutes les pièces doivent résister à ces efforts.
Les paramètres principaux sont : les vitesses : les frottements génèrent une chaleur d'autant plus importante que la vitesse est élevée ; il s'agit d'une perte d'énergie d'une part, et d'autre part l'élévation de température peut modifier le comportement de la matière et endommager des pièces ; par ailleurs, l'énergie cinétique à fournir au système est fonction du carré de la vitesse, celle-ci détermine donc la consommation énergétique du système ; les accélérations : selon le principe fondamental de la dynamique, les efforts sont proportionnels à l'accélération ; plus l'accélération est élevée, plus les pièces doivent être robustes et plus l'actionneur (moteur, vérin…) doit développer de puissance ; les à-coup : ils sont générateurs de vibrations et donc de bruit (nuisance sonore) mais peuvent aussi provoquer le desserrement de vis d'assemblage et un endommagement par fatigue vibrationnelle. Lorsque les accélérations sont importantes, on ne peut plus négliger la déformation élastique des pièces et les jeux dans les liaisons : cela introduit un décalage entre les deux bouts de la chaîne cinématique, ce qui d'une part rend difficile la maîtrise du mouvement et d'autre part peut générer des efforts imprévus de type « coup de fouet ».
Outre les limites physiques, la conception est également soumise à des « limites mathématiques » : si l'on désire avoir des fonctions analytiques pour pouvoir travailler sur les lois de mouvement et les reproduire, il faut si possible avoir des lois simples. On utilise en général des lois polynomiales — dont des fonctions constantes et affines — et des lois trigonométriques — sinus, cosinus, tangente. La loi finale est en général un assemblage de plusieurs lois (définition par partie).
Phases du mouvement
Le mouvement comprend au moins deux phases : une phase de démarrage et une phase de freinage. Il nécessite parfois une phase de vitesse constante : soit l'amplitude du mouvement est suffisamment importante pour que la vitesse maximale admissible soit atteinte, soit le travail effectué nécessite d'avoir une vitesse constante, comme un usinage (l'outil de coupe doit se déplacer à vitesse constante). Bien sûr, un mouvement peut être plus complexe et nécessiter de multiples phases.
Pilotage du mouvement
Habituellement, le mouvement peut être piloté de deux manières : par une came (pilotage mécanique) ; par un automate pneumatique ou, plus probablement, électronique. Dans le cas d'une came, la loi de mouvement détermine le profil de la came.
Dans le cas d'un automate électronique associé à des actionneurs électriques (moteur électrique, vérin électrique), la loi de mouvement détermine la puissance envoyée dans l'actionneur en fonction du temps.
Notons que ce qui nous intéresse, c'est le mouvement de la pièce en question, de l'effecteur (partie de la machine qui effectue la tâche, la fonction). Mais ce que l'on pilote, c'est l'actionneur (partie de la machine qui produit le mouvement). Il peut y avoir des pièces intermédiaires entre l'actionneur et l'effecteur qui transforment le mouvement, l'effecteur ne suit donc pas nécessairement la même loi de mouvement que l'actionneur.
On peut donc prendre le problème sous deux angles : soit on définit la loi de mouvement de l'actionneur, parce que c'est ce qui est le plus simple et que les possibilités sont limitées par la technologie ; on détermine ensuite la loi de mouvement suivie par l'effecteur et on vérifie qu'elle est compatible avec le cahier des charges ; soit on définit la loi de mouvement de l'effecteur, puisque c'est ce pour quoi la machine est conçue ; la loi servant à piloter l'actionneur est alors déduite de la loi de mouvement de l'effecteur et on vérifie qu'elle est compatible avec le dispositif.
Approche élémentaire
vignette|150px|Chronogrammes d'un mouvement ayant un profil de vitesse trapézoïdal.
Supposons que l'on doit effectuer un mouvement rectiligne : la pièce en question doit se déplacer d'une abscisse x0 = 0 à une abscisse xf en une durée T, les vitesses initiales et finales étant nulles : v(0) = v(T) = 0. La pièce a donc une vitesse moyenne vmoy = xf/T. Cependant, le mouvement doit avoir une phase d'accélération, la mise en mouvement, puis une phase de freinage.
La première solution qui vient à l'esprit est d'avoir une accélération constante pour amener la pièce jusqu'à une « vitesse de croisière » puis d'avoir une accélération constante pour freiner la pièce jusqu'à l'arrêt. On a donc une loi d'accélération en « marche d'escalier » et une loi de vitesse trapézoïdale. La loi de position est constituée d'un arc de parabole (démarrage) suivi d'une droite (fonction affine) puis d'un arc de parabole (freinage).
Une telle loi n'est pas possible au sens strict : en effet, la discontinuité de l'accélération génère un à-coup infini. L'élasticité du mécanisme va donc limiter la variation de l'accélération d'une part, le mouvement réel aura donc du retard par rapport au mouvement planifié. D'autre part, ce fonctionnement va générer des vibrations importantes.
La loi de mouvement réelle est nécessairement continue en accélération c'est-à-dire que la courbe décrivant l'accélération en fonction du temps, a(t), est une fonction continue.
Toutefois, une loi ayant une accélération discontinue n'est pas nécessairement un problème lorsque les vitesses sont faibles. Un automate pneumatique élémentaire fonctionne souvent sur le mode suivant : Le distributeur laisse passer l'air jusqu'au vérin. Le distributeur se ferme et le circuit se purge. Lorsque le distributeur s'ouvre, la pression de l'air monte brusquement et provoque une accélération (poussée constante) jusqu'à ce que la vitesse du vérin corresponde au débit de l'air. Lorsque le distributeur se ferme et que le circuit se purge, le vérin arrête de pousser, le système est freiné par frottement et/ou arrêté brusquement par une butée, un amortisseur étant chargé d'amortir le choc.
vignette|Élévateur de manège.
Prenons le cas d'un manège dont certains éléments peuvent monter avec un élévateur pneumatique. Lorsque l'enfant appuie sur le bouton, le sujet s'élève en se mettant en route de manière « brusque » ; cependant, la vitesse de montée étant faible, l'élasticité du support et la compressibilité de l'air font que l'à-coup ressenti ne provoque pas d'inconfort notable.
Le cas du sujet de manège présente par ailleurs deux différences par rapport à notre cas initial : L'actionneur ne se contente pas de mettre une charge en mouvement (donc de vaincre l'inertie), il doit aussi monter une charge (travail utile) ; une fois en position haute, le vérin reste sous pression pour maintenir la charge. Si la tige du vérin a un mouvement rectiligne par rapport au corps du vérin, le sujet de manège a lui un mouvement de translation circulaire ; la loi de mouvement que suit l'effecteur (le sujet) n'est donc pas la même que celle de l'actionneur (le vérin).
thumb|Profils de cames simples
Si maintenant un mouvement est piloté par une came alors le profil de la came (en noir dans la figure ci-contre) représente la loi de mouvement et sa pente représente la vitesse. Plus précisément, le profil de la came est similaire à la trajectoire du centre du galet (en rouge) et l'abscisse horizontale est proportionnelle au temps si l'on suppose une vitesse de translation vh constante.
Le galet doit donc passer d'une altitude y0 à une altitude yf en une durée T, c'est-à-dire que le galet doit parcourir une distance horizontale vh × T. La première idée consiste donc à tirer une droite entre les points (0 ; 0) et (yf ; vh × T), voir la figure du haut — notez que les angles sont nécessairement légèrement arrondi en raison des méthodes de fabrication.
Avec une telle came : le galet subit un choc à l'entrée de la pente, il se prend un mur incliné ; à la fin de la pente, il risque de décoller (effet tremplin) ou bien, si l'effort presseur est suffisant, d'être poinçonné par l'arête vive. Une telle came n'est donc pas utilisable.
Une première solution consisterait à raccorder les segments de droite par des arcs de cercle dont le rayon est supérieur à celui du galet (figure du milieu). Si le système ne subit plus de choc, en revanche il subit des à-coups important en entrée et en sortie des raccordements circulaires. Par exemple à l'entrée du premier raccord, l'accélération verticale est nulle à gauche ; à droite, le galet est sur une trajectoire circulaire avec une vitesse circonférentielle vh, il subit donc une accélération radiale vh2/R. L'accélération passe donc instantanément de 0 à une valeur non-nulle. Autre manière de voir, c'est comme si le conducteur d'une voiture, pour aborder un virage, tournait brusquement le volant pour passer instantanément d'une trajectoire en ligne droite à un virage de rayon donné.
Cette solution n'est donc possible que pour les faibles vitesses. Ce cas nous permet cependant de relever un point important : la pente au centre (donc la vitesse de montée) est supérieure au cas précédent : lorsque l'on veut limiter l'accélération, cela impose d'augmenter la vitesse maximale.
Pour limiter l'à-coup, il faut que la courbure du profil soit continue ; en effet, la courbure est à peu près égale à la dérivée seconde de la position donc est proportionnelle à l'accélération verticale, une courbure continue implique donc une accélération continue donc un à-coup maîtrisé.
La troisième solution (figure du bas) a un profil en S dont la dérivée seconde est continue. Plusieurs possibilités sont présentées ci-après. Là encore, nous remarquons que pour limiter l'à-coup, nous sommes obligés d'augmenter encore la pente au milieu donc la vitesse maximale.
vignette|Fonctionnement d'une croix de Malte.