En mathématiques, une équation différentielle ordinaire (parfois simplement appelée équation différentielle et abrégée en EDO) est une équation différentielle dont la ou les fonctions inconnues ne dépendent que d'une seule variable ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives.
Le terme ordinaire est utilisé par opposition au terme équation différentielle partielle (plus communément équation aux dérivées partielles, ou EDP) où la ou les fonctions inconnues peuvent dépendre de plusieurs variables. Dans la suite de l'article, le terme équation différentielle est utilisé pour signifier équation différentielle ordinaire.
L'ordre d'une équation différentielle correspond au degré maximal de dérivation auquel l'une des fonctions inconnues a été soumise. Il existe une forme de référence à laquelle on essaie de ramener les équations différentielles ordinaires par divers procédés mathématiques : , équation d'ordre 1 où est la fonction inconnue, et sa variable.
Les équations différentielles représentent un objet d'étude de toute première importance, aussi bien en mathématiques pures qu'en mathématiques appliquées. Elles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de processus d'évolution physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité, la mécanique céleste ou la dynamique des populations... La variable représente alors souvent le temps, même si d'autres choix de modélisation sont possibles.
Les objectifs principaux de la théorie des équations ordinaires sont la résolution explicite complète quand elle est possible, la résolution approchée par des procédés d'analyse numérique, ou encore l'étude qualitative des solutions. Ce dernier domaine s'est progressivement étoffé, et constitue l'un des composants principaux d'une vaste branche des mathématiques contemporaines : l'étude des systèmes dynamiques.
Définition Premiers exemples
Même si ce n'est pas la discipline qui a fait naître les équations différentielles, la dynamique des populations en illustre de façon simple des exemples parmi les plus accessibles. Ainsi, l'étude d'une population isolée dans un milieu produisant de la nourriture en abondance conduit au modèle suivant pour l'effectif en fonction du temps : , c'est-à-dire que l'accroissement de population est, à chaque instant, proportionnel à la taille de la population . Les solutions de cette équation font apparaître un phénomène de croissance exponentielle.
gauche|vignette|Les courbes d'évolution des populations pour les équations de Lotka-Volterra. Un système plus complexe, formé de deux espèces, proie et prédateur, conduit aux équations de Lotka-Volterra
L'effectif des proies est , celui des prédateurs . On retombe sur le cas précédent si est nul. La quantité est une probabilité de rencontre, qui influe négativement sur une population (les proies), positivement sur l'autre (les prédateurs). À chaque instant, connaissant les populations en présence, on peut décrire la tendance. Ces deux équations sont couplées c'est-à-dire qu'il faut les résoudre ensemble. Mathématiquement, il faut les concevoir comme une seule équation dont l'inconnue est le couple . Si l'effectif initial des populations est connu, l'évolution ultérieure est parfaitement déterminée. Elle se fait le long d'une des courbes d'évolution figurées ci-contre, qui laissent apparaître un comportement cyclique.
Une des plus célèbres équations différentielles est la relation fondamentale de la dynamique, de Newton : , où est la masse d'une particule, la force exercée sur celle-ci et l'accélération qui en résulte. Dans le cas d'un mouvement rectiligne, si la force subie est fonction de la position (par exemple dans le cas d'un ressort) on obtient une équation de la forme
Cette fois, pour déterminer parfaitement le mouvement, il faut se donner position et vitesse initiales.
Équation différentielle, processus d'évolution et déterminisme
Les caractéristiques d'un système dynamique régi par une équation différentielle sont les suivantes : les états a priori possibles pour le système forment un espace de dimension finie, c’est-à-dire peuvent être décrits par un nombre fini de variables. Cet espace est l'espace des phases. Par exemple, pour décrire le mouvement d'une particule dans l'espace usuel, il faut trois variables. Pour le mouvement d'un solide, six sont nécessaires ; les lois qui gouvernent l'évolution temporelle sont des fonctions au moins dérivables ; l'évolution du système est déterministe : connaissant les conditions initiales, c'est-à-dire l'état du système au temps présent, on peut en déduire l'état du système à n'importe quel temps du futur ou du passé.
L'aspect déterministe des équations différentielles a des implications particulièrement fortes, et se concrétise mathématiquement par le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Définition générale
Soit E un espace vectoriel normé. Une équation différentielle ordinaire (appelée simplement équation différentielle dans la suite de l'article) est une équation de la forme où F est une fonction continue sur un ouvert U de ℝ × E, appelé domaine.
L'ordre de cette équation différentielle est l'ordre n de la plus haute dérivée y apparaissant. Soient y une fonction de x définie d'un intervalle I dans E et y', y", …, y les dérivées successives de la fonction y. Cette fonction y est dite solution si elle est de classe C et si
Résoudre une équation différentielle revient à trouver les fonctions solution y. Par exemple, l'équation différentielle y" + y = 0 a une solution générale de la forme : y(x) = A cos x + B sin x, où A, B sont des constantes complexes (qu'on peut déterminer si on ajoute des conditions initiales).
Dans une équation différentielle, la fonction y peut être par exemple à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie, ainsi si y a pour composantes y1 et y2 :
L'usage en physique est de parler alors de système d'équations différentielles couplées. Mais le point de vue fécond en mathématiques est de n'y voir qu'une seule équation, pour une fonction à valeurs vectorielles.
On peut encore élargir la définition, en considérant des équations différentielles sur des variétés différentielles.
Équation différentielle sous forme résolue
Une équation différentielle d'ordre n est mise sous forme résolue quand on peut exprimer la dérivée la plus forte en fonction de x et des dérivées précédentes
Réduction à 1 de l'ordre d'une équation
Une équation différentielle d'ordre npeut se lire aussi comme une équation du premier ordre à valeurs dans E, de fonction inconnue L'équation se réécrit en effet, en notant y = y :
ou encore, en définissant f par f(x, v, …, v, w, …, w) = (w – v, …, w – v, F(x, v, …, v, w)) :
Si l'équation d'ordre n était sous forme résolue
l'équation équivalente d'ordre 1 le sera aussi :
avec g(x, v, …, v) = (v, …, v, G(x, v, …, v)).
De plus, dans les deux cas (forme implicite ou forme résolue), si l'équation d'ordre n était autonome, celle d'ordre 1 le sera aussi (c'est-à-dire que si F ou G ne dépend pas de la variable x alors f ou g non plus) et si l'équation était linéaire, elle le reste. Par exemple, l'équation différentielle linéaire d'ordre 2, résolue et autonome
se transforme en équation du premier ordre à valeurs dans ℝ : la fonction inconnue de la nouvelle équation différentielle est une fonction x ↦ v(x) = (y(x), z(x)) de ℝ dans ℝ et l'équation s'écrit :
Solutions Durée de vie
Si y est solution d'une équation différentielle sur l'intervalle I, on peut considérer sa restriction à un intervalle J inclus dans I. Celle-ci restera solution de l'équation différentielle. Une solution est encore appelée courbe intégrale.
Il est souvent judicieux de ne considérer que les solutions maximales, encore appelées courbes intégrales maximales, c'est-à-dire celles qui ne sont les restrictions d'aucune autre. L'intervalle de définition est nommé intervalle maximal.
Il ne faut pas croire pour autant que les solutions maximales sont définies sur ℝ entier. Il est tout à fait possible qu'elles aient une durée de vie finie dans le futur ou dans le passé. Il en est ainsi des solutions de l'équation y' = y, par exemple.
Cependant, si une solution reste confinée dans un domaine compact, alors elle a une durée de vie infinie.
Exemple
L'équation différentielle scalaire d'ordre 1 sous forme résolue : y' = G(x, y), admet une interprétation géométrique simple dans le plan ramené à un repère d'axes (Ox), (Oy). On peut représenter, attaché en chaque point de coordonnées x, y, le vecteur de composantes 1 et G(x, y), ce qui constitue un champ de vecteurs du plan. Les courbes solutions sont des représentations graphiques de fonctions continûment dérivables, dont la tangente en chaque point est donnée par le champ de vecteurs.
Forme résolue et forme implicite
Les équations différentielles qui peuvent se mettre sous forme résolue jouissent de bonnes propriétés théoriques, avec – sous certaines hypothèses – un théorème d'existence et d'unicité de solutions : le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Dans le cas contraire, on dit que l'équation différentielle est sous forme implicite. On essaie, sur les domaines les plus grands possibles, de mettre l'équation différentielle sous forme résolue. Puis on doit procéder au raccordement des solutions obtenues. Le traitement des équations différentielles de ce type sera évoqué en fin d'article.
Conditions initiales, théorème de Cauchy-Lipschitz
Une condition initiale (ou condition de Cauchy), pour une équation d'ordre n d'inconnue y est la donnée d'une valeur x0 et de n vecteurs Y0,..., Yn-1. La fonction solution y satisfait ces conditions initiales si
Un problème de Cauchy est la donnée d'une équation différentielle avec un jeu de conditions initiales.
Pour une équation différentielle sous forme résolue, moyennant une certaine hypothèse de régularité (caractère localement lipschitzien à x fixé, par rapport au bloc des autres variables), le théorème de Cauchy-Lipschitz énonce que, pour chaque condition initiale : il existe une solution qui la satisfait et qui est définie sur un intervalle de la forme ]x – α, x + α[ ; il existe une unique solution maximale qui la satisfait.
Conditions aux limites
Un autre problème classique est celui des conditions aux limites, pour lequel on prescrit les valeurs d'une fonction solution en plusieurs points, voire les valeurs des limites d'une fonction solution aux bornes du domaine. Ainsi le problème :
Un tel problème (parfois appelé problème de Dirichlet) peut très bien n'avoir aucune solution ou au contraire une infinité de fonctions solutions.
Dans l'exemple donné, les solutions sont les fonctions de la forme x ↦ k sin(x), pour toute constante k.
Résolution explicite
La résolution par quadrature qui consiste à obtenir une forme explicite des solutions de l'équation différentielle à l'aide des fonctions usuelles et de l'opérateur de primitivation, est rarement possible. Un petit nombre d'équations possédant des formes particulières peuvent être ramenées par changements de variables successifs à l'équation la plus simple de toutes : l'équation , qui est une simple primitivation.
Parmi les équations différentielles pouvant être entièrement résolues sont les équations linéaires scalaires d'ordre 1, les équations à variables séparées, les équations homogènes du premier ordre, l'équation de Bernoulli, les équations différentielles vectorielles à coefficients constants.
D'autres peuvent être entièrement résolues dès lors qu'une solution particulière est connue, ainsi l'équation différentielle linéaire d'ordre 2, l'équation différentielle de Riccati.
À défaut de résolution par quadrature, il est parfois possible de rechercher une expression au moins locale des solutions, sous forme de série entière. Cette démarche, employée de façon systématique sur certaines classes d'équations différentielles linéaires, porte le nom de méthode de Frobenius.