vignette|Portrait d'Hermann Minkowski En mathématiques, l'inégalité de Minkowski, ainsi nommée en l'honneur de Hermann Minkowski, est l'inégalité triangulaire pour la norme des espaces pour , établissant ainsi que ce sont des espaces vectoriels normés.
Elle concerne en particulier la norme des espaces de suites ℓ.
Énoncé Soient un espace mesuré, et deux fonctions . Alors
c'est-à-dire
étant un espace vectoriel, . Si , l'inégalité est vérifiée.
Sinon, en appliquant successivement l'inégalité triangulaire dans et l'inégalité de Hölder (avec ), il vient:
d'où l'inégalité annoncée.
De plus, pour , il y a égalité si et seulement si et sont positivement liées presque partout (p.p.), c'est-à-dire si p.p. ou s'il existe un réel tel que p.p.
Cas particuliers À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski se vérifient dans le cas particulier de vecteurs dans ℝ (ou ℂ) et même de séries () :
Ces inégalités se déduisent de la précédente en utilisant la mesure de comptage.
Inégalité intégrale de Minkowski Soient et deux espaces mesurés σ-finis et une fonction mesurable positive sur leur produit. Alors, pour tout , § A.1., th. 202., th. 3.25. :
Dans le cas où est une paire et la mesure de comptage, l'hypothèse de σ-finitude pour est superflue et l'on retrouve l'énoncé précédent.
Dans le cas où p > 1, il y a égalité (si et) seulement s'il existe mesurables positives (sur et respectivement) telles que F(x,y) = φ(x)ψ(y) p.p. pour la mesure produit.
Notes et références
Minkowski Catégorie:Algèbre bilinéaire Catégorie:Hermann Minkowski