vignette|Itérations de la fonction sinus (bleu), dans la première demi-période. Demi-itération (orange), c'est-à-dire la racine carrée fonctionnelle du sinus ; la racine carrée fonctionnelle de celle-ci, le quart d'itération (noir) au-dessus ; et quatre itérations intégrales au-dessous, en commençant par la deuxième itération (rouge). Le triangle enveloppe vert représente l'itération limite nulle, la fonction en dents de scie servant de point de départ à la fonction sinus. Tiré du site Web de pédagogie générale. En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction est une fonction satisfaisant pour tout .
Notation Des notations possibles pour indiquer que est une racine carrée fonctionnelle de sont et .
Historique La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle, a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950. Les solutions de sur (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage. Une solution particulière est pour Plus rigoureusement, c'est une solution sur , avec et .. Babbage remarqua que pour une solution donnée, sa conjuguée topologique par une fonction inversible quelconque est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.
Solutions Un procédé pour produire des racines -ièmes fonctionnelles pour des quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de Schröder.
Exemples est une racine carrée fonctionnelle de . Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, , est , qui en général n'est pas elle-même un polynôme. est une racine carrée fonctionnelle de .
Voir aussi Racine carrée d'une matrice Fonction itérée Équation de Schröder Analyse fractionnaire
Notes et références
Racine Fonctionnelle