En physique mathématique, un potentiel de Pöschl-Teller, nommé d'après les physiciens Herta Pöschl"Edward Teller Biographical Memoir." by Stephen B. Libby and Andrew M. Sessler, 2009 (published in Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific legacy of Edward Teller, World Scientific, 2010. (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller, est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales.

Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article. de 1933, le potentiel sous sa forme généraleVoir la formule « (2b) » de l'article suscité.

pour , de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique pour :

Solutions

Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,

peuvent alors être déterminées grâce à la substitution qui conduit à l'équation générale de Legendre

dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre et de degré et d'ordre lorsque . droite|vignette|upright=1.5|Potentiel de Pöschl–Teller symétrique pour (courbe noir) et ses six valeurs propres (lignes rouges) . Cependant, seules les fonctions pour tels que ou , où , sont dans En effet, les fonctions divergent en ou en — donc ne sont pas dans — pour tous les couples pour lesquelles elles sont définies sur . D'autre part, les fonctions sont non triviales tout en convergeant vers en uniquement pour les couples tels que ( et ) ou ( et ) où .Voir NIST Digital Library of Mathematical Functions, §14.8 Behavior at Singularities pour les limites en . et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas , la fonction ne diffère de que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.

Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour et , où , et ces valeurs propres sont alors , avec les fonctions propres associées .

En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculéesPages 244–247 de ..

Dans le cas particulier où est un entier , le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries.

Potentiel de Rosen-Morse Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire. :

Références

Voir aussi Articles connexes Potentiel de Morse

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