vignette|La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50 En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev ou est donnée par
où la somme est définie sur les nombres premiers inférieurs ou égaux à .
La seconde fonction de Tchebychev est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à :
où désigne la fonction de von Mangoldt. Les fonctions de Tchebychev, notamment la seconde , sont souvent utilisées dans des résultats sur les nombres premiers, car elles sont plus simples à utiliser que la fonction de compte des nombres premiers, (voir la formule exacte, plus bas). Les deux fonctions de Tchebychev sont asymptotiquement équivalentes à , un résultat similaire au théorème des nombres premiers.
Les deux fonctions sont nommées d'après Pafnouti Tchebychev.
Relations La seconde fonction de Tchebychev peut être liée à la première comme suit :
où est l'unique entier tel que et . Les valeurs de sont données dans la suite . Une relation plus directe est donnée par
La dernière somme a seulement un nombre fini de termes non-nuls, puisque
La seconde fonction de Tchebychev est le logarithme du plus petit commun multiple des entiers de 1 à .
Les valeurs de pour un entier sont données par .
Équivalents asymptotiques et bornes On connait les bornes suivantes pour les fonctions de Tchebychev. Une version abrégée existe sous le nom (dans ces formules est le -ème nombre premier : , , etc.)
De plus, sous l'hypothèse de Riemann,
pour tout .
Des bornes supérieures existent pour et telles que
pour tout .
Une explication de la constante 1,03883 est donnée par .
La formule exacte En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt a prouvé une expression explicite pour comme une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann :
(La valeur numérique de est .) Ici, parcourt les zéros non triviaux de la fonction zêta, et est égale à , sauf en ces points de discontinuités (les puissances premières), où elle prend la valeur moyenne entre les valeurs haute et droite :
De la série de Taylor pour le logarithme, le dernier terme dans la formule explicite peut être écrit comme la somme de sur les zéros triviaux de la fonction zêta, , i.e.
De même, le premier terme, , correspond au pôle simple de la fonction zêta en 1.
Propriétés Un théorème d'Erhard Schmidt affirme que, pour une constante positive explicite , il y a un nombre infini d'entiers naturels tels que
et un nombre infini d'entiers naturels tels que
En notation de Landau, on peut l'écrire sous la forme
Hardy et Littlewood. ont trouvé le résultat suivant, plus précis :
Relation aux primorielles
La première fonction de Tchebychev est le logarithme de la primorielle de , noté :
On prouve ainsi que le primoriel est asymptotiquement égal à , et avec le théorème des nombres premiers, on peut déduire le comportement asymptotique de .
Relation à la fonction de compte La fonction de Tchebychev peut être reliée à la fonction de compte des nombres premiers. Si on pose
Alors
La transition de à la fonction de compte, , est obtenue à l'équation
Puisque , pour l'approximation, cette dernière relation peut être réécrite
L'hypothèse de Riemann L'hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle . Dans ce cas, , et elle peut être décrite par
De l'égalité, on déduit :
De bonnes preuves de la véracité de l'hypothèse viennent du fait proposé par Alain Connes et d'autres, que si on différencie la formule de von Mangoldt par rapport à , on a . Par des calculs, on obtient la formule de trace de l'exponentielle de l'opérateur hamiltonien satisfaisant :
et
où la somme trigonométrique peut être considérée comme la trace de l'opérateur (en mécanique statistique), qui n'est vrai que si .
Par une approche semi-classique, le potentiel de satisfait :
avec si .
Des solutions de cette équation intégrale non linéaire peuvent être obtenues (entre autres) par
pour obtenir l'inverse du potentiel:
Fonction de lissage
La fonction de lissage est définie par
On peut montrer que
Formulation variationnelle
La fonction de Tchebychev en minimise la fonctionnelle
ainsi
Notes
Références
Liens externes
Riemann's Explicit Formula, avec images et animations
Catégorie:Fonction arithmétique Tchebychev