En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, le groupe fondamental, ou groupe de Poincaré, est un invariant topologique. Le groupe fondamental d'un espace topologique pointé (X, d) est, par définition, l'ensemble des classes d'homotopie de lacets (chemins fermés) de X de base d. C'est un groupe dont la loi de composition interne est induite par la concaténation (juxtaposition) des arcs.
L'examen des groupes fondamentaux permet de prouver que deux espaces particuliers ne peuvent être homéomorphes (c'est-à-dire topologiquement équivalents). Le groupe fondamental permet de classifier les revêtements d'un espace connexe par arcs, à un isomorphisme près.
Une généralisation des groupes fondamentaux est la suite des groupes d'homotopie supérieurs. Pour cette raison, le groupe fondamental est aussi appelé premier groupe d'homotopie..
Le groupe fondamental fut introduit par Henri Poincaré dans la douzième section de son article Analysis Situs, paru en 1895 et annoncé dans une note aux Comptes rendus de l'Académie des sciences, parue en 1892..
Définition intuitive à travers l'exemple du tore
vignette|Un lacet de base p sur le tore bidimensionnel.
Tout d'abord, familiarisons-nous avec l'idée du groupe fondamental à travers l'exemple du tore bidimensionnel (qu'on peut se représenter comme étant la surface d'un donut ou d'une bouée). On fixe sur le tore un point de départ p.
À partir de ce point, on peut construire des lacets, i.e des courbes fermées, qui partent du point p, « se promènent » sur le tore et qui reviennent au point de départ. Imaginons que les lacets soient faits à partir de caoutchouc comme un élastique et qu'il soit ainsi possible de les étirer, les déformer de telle manière que le point de départ et le point d'arrivée soient toujours p et que les lacets se déplacent toujours sur le tore. Une telle déformation s'appelle une homotopie : on dit que deux lacets qui peuvent s'obtenir l'un à partir de l'autre par une homotopie sont homotopiquement équivalents. Ce sont les lacets à déformation près qui nous intéressent : on regroupe donc les lacets dans des classes d'homotopie. Le groupe fondamental du tore est l'ensemble des différentes classes d'homotopie des lacets.
vignette|a et b ne sont pas homotopiquement équivalents.
Dans la figure ci-contre, les lacets a et b ne sont pas homotopiquement équivalents : on ne peut obtenir l'un en déformant continûment le second sans le « déchirer » à un moment, ils représentent deux éléments distincts du groupe fondamental. On obtient d'autres classes d'homotopie en faisant tourner les lacets plusieurs fois autour du trou. vignette|gauche|Composé de deux lacets. Comme son nom l'indique, le groupe fondamental n'est pas un simple ensemble, il est muni d'une structure de groupe : la loi de composition interne est celle qui à deux lacets associe un troisième lacet obtenu en parcourant le premier puis le second (il n'y a pas de problèmes de définition puisque les lacets commencent et terminent avec le même point p). L'élément neutre du groupe fondamental est la classe d'homotopie du lacet qui reste au point p. On obtient un élément inverse en parcourant les lacets d'une classe d'homotopie dans le sens contraire.
Définition Classe d'équivalence de lacets droite Soit X un espace topologique. Un arc continu est une application continue : [0 1] → X.
Soit p un point fixé dans X. Un lacet basé en p est un arc continu vérifiant de plus (0) = (1) = p. Il peut s'interpréter comme une application continue du cercle unité S dans X qui envoie 1 sur p.
Deux lacets et sont dits homotopes s'il existe une homotopie de l'un vers l'autre, c'est-à-dire une application continue H : [0 1] → X telle que :
La dernière condition exprime que pour x fixé entre 0 et 1, t ↦ H(t, x) est un lacet basé en p.
Autrement dit, deux lacets sont dits homotopes si l'on peut passer continument de l'un à l'autre, à l'image de la figure de droite (le point p est situé en A sur la figure).
Le fait d'être homotopes est une relation d'équivalence entre lacets (basés en p). On notera [] la classe d'équivalence d'un lacet (aussi appelée classe d'homotopie)..
L'ensemble (X, p) de ces classes d'équivalences s'identifie à l'ensemble des composantes connexes par arcs de l'espace des lacets basés en p de X (muni de la topologie compacte-ouverte), ., noté Ω(X, p), et la structure de groupe dont on va le munir ci-dessous provient en fait de la structure de H-groupe de Ω(X, p). :
Structure de groupe vignette|droite|Composé du lacet bleu et du lacet rouge. On souhaite donner une structure de groupe à cet ensemble (X, p). Si f et g sont deux lacets de X (basés en p), leur juxtaposition, éd., Cassini, 2005, .. ou composition. est le lacet h appelé lacet composé. de f et de g ou lacet produit. fg, défini par :
Intuitivement, c'est le lacet qui parcourt f puis g (chacun deux fois plus rapidement, pour arriver à parcourir le lacet en un temps unité). On notera fg le composé de f et de g. On peut prouver que la classe d'homotopie [fg] ne dépend que de la classe d'homotopie de f, et de celle de g. Ainsi, on peut définir une loi de composition interne sur l'ensemble (X, p) des classes d'homotopie des lacets basés en p de X, par [f][g] = [fg], encore appelée juxtaposition..
On peut alors prouver que l'on obtient une structure de groupe sur l'ensemble (X, p) : la loi de juxtaposition est associative car les lacets (fg)h et f(gh) sont homotopes, l'élément neutre est la classe d'homotopie [] du lacet trivial défini par (t) = p pour tout t. L'inverse d'un lacet f est simplement le même lacet, mais parcouru dans l'autre sens, c'est-à-dire défini par f(t) = f(1 – t).
Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe fondamental ou groupe de Poincaré.. ou premier groupe d'homotopie de X basé en p, et est noté (X, p).
Si X est un groupe topologique (ou plus généralement un H-espace) d'élément neutre p, le groupe (X, p) est abélien et le lacet composé fg est homotope au lacet produit t ↦ f(t)g(t)..
Point base Examinons le cas particulier où l'espace topologique X est connexe par arcs. Deux groupes fondamentaux basés en deux points p et q ((X, p) et (X, q)) sont isomorphes. En effet, il existe un chemin allant de p à q. On peut donc définir l'application suivante
qui réalise visiblement un isomorphisme du groupe fondamental (X, q) vers le groupe fondamental (X, p) dont l'isomorphisme réciproque est l'application :
Ainsi, si X est connexe par arcs, par abus de langage, on parle du groupe fondamental (à un isomorphisme non unique près) de l'espace topologique X, sans préciser le point base., que l'on note (X) = (X, p). Cependant, l'isomorphisme entre les groupes (X, p) et (X, q) n'est pas unique et dépend du choix d'un chemin entre p et q . Ainsi on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans l'espace X, les groupes restant toujours isomorphes.
Si X n'est pas connexe par arcs, les groupes fondamentaux de deux composantes connexes, sont différents. Par abus de langage, on parle néanmoins du groupe fondamental d'une composante connexe par arcs, sans préciser le point base, mais on doit se souvenir que le groupe fondamental varie lorsque le point base varie dans la composante connexe par arcs, les groupes restant toujours isomorphes.
Exemples
Espaces simplement connexes
Un espace connexe par arcs de groupe fondamental trivial est dit simplement connexe.
Par exemple tout espace contractile (c'est-à-dire qui se rétracte par déformation sur un point) en particulier tout convexe de ℝ, est simplement connexe. La sphère S pour n ≥ 2 est aussi simplement connexe.
Cercle
Le terme de cercle désigne ici un espace homéomorphe à un cercle du plan euclidien, comme le groupe topologique quotient ℝ/ℤ ou comme le cercle unité S des nombres complexes de module 1.
Le groupe fondamental du cercle est isomorphe au groupe ℤ des nombres entiers.
(C'est un cas particulier des groupes d'homotopie des sphères : (S) = ℤ.)
On considère ici (S, 1), c'est-à-dire que le point de base est 1. On définit un morphisme de groupes μ de ℤ dans (S, 1) qui, à chaque entier m, associe la classe d'un lacet e qui fait |m| tours, dans le sens trigonométrique si m est positif, et dans le sens inverse sinon :
C'est bien un morphisme car le lacet composé ee est homotope au lacet produit, égal à e. Pour établir qu'il est bijectif, il faut montrer que le « nombre de tours » est bien défini pour tout lacet et ne dépend que de sa classe d'homotopie, et que tout lacet qui fait m tours est homotope à e.
Le problème est de construire un inverse pour :
droite On définit pour cela une application p par :
Pour établir un lemme, nécessaire à la démonstration, une remarque est utile. La restriction de e à l'intervalle ]–1/2, 1/2[ est un homéomorphisme à valeurs dans S\{–1} ; il est illustré sur la figure de droite. Le caractère bijectif est évident, la restriction est continue et son inverse σ est continu car défini par :
Théorème de relèvement : Soit α : [0, 1] → S une application continue telle que α(0) = 1. Il existe une unique application continue β : [0, 1] → ℝ telle que et p ∘ β = α :
Établissons l'unicité de β. Soient β et β deux applications qui vérifient la proposition. Leur différence est nulle car continue, nulle en 0, définie sur un connexe et à valeurs dans un ensemble discret (en l'occurrence ℤ).
droite Montrons son existence. Si α est à valeurs dans S\{–1}, le fait que σ soit un homéomorphisme permet de conclure. Si ce n'est pas le cas, on procède par « découpage » de l'intervalle [0, 1]. L'application α est définie sur un compact et est continue ; elle est donc uniformément continue, ce qui montre l'existence d'un réel strictement positif tel que :
Autrement dit, si ne s'éloigne de de strictement moins que , le rapport n'atteint jamais la valeur -1 sur laquelle n'est pas définie. Cette propriété permet de définir la fonction par étapes. Soit M un entier strictement positif tel que 1/M soit strictement plus petit que . Sur l'intervalle [0, 1/M], on définit la fonction comme égale à . On dispose des égalités
Soit k un entier compris entre 1 et , et . Sur l'intervalle [k/M, (k + 1)/M], la fonction qui à t associe vaut 1 en k/M et ses images ne quittent jamais le domaine de définition de . Cette situation est illustrée sur la figure de droite, sur chaque segment, le lacet est illustré d'une couleur différente, aucun segment ne s'éloigne d'exactement un demi-tour du point d'origine. Ce qui permet de définir sur cet intervalle par :
Par construction, la fonction est continue et vérifie bien par, récurrence sur k, l'égalité recherchée :
On suppose maintenant que est un lacet. On définit l'application comme celle qui à associe l'extrémité , qui correspond intuitivement au nombre de tours effectué par . Comme est égal à 1, est un entier.
Encore faut-il montrer que l'application est compatible avec l'homotopie. Un premier lemme est utile.
Si deux lacets α et α de S de base 1 vérifient la majoration suivante, ils ont même image par :
On considère l'application quotient . Son image est incluse dans S\{–1}, c'est-à-dire le domaine de définition de . Par unicité du relèvement, on en déduit, avec les notations usuelles :
en particulier
Soient α et α deux lacets de S de base 1 et homotopes. Ils ont même image par :
Soit H une homotopie de lacets de base 1 de à . L'application H, continue sur le compact [0, 1], est uniformément continue. Il existe donc un entier M tel que :
D'après le lemme précédent, les lacets H( ,0/M), H( ,1/M), H( ,2/M), … , H( ,M/M) ont tous même image par . Le premier et le dernier sont α et α.
Conclusion : On a bien défini une application de (S, 1) dans ℤ, vérifiant par construction . Il reste encore à montrer que . Soient et . L'application réalise alors une homotopie de α à e.