vignette|Type borné ρ cosh(θ/3)=1. vignette|Type asymptotique ρ sinh(θ/3)=1.. vignette|Logarithmique ρ = 1,19

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 .

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. Certains considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit: avec a² + b² non nul Cette famille regroupe trois sous-familles: celle pour lesquelles |a | > |b|, courbes bornées toutes semblables dont des représentants sont les courbes d'équation polaire celle pour lesquelles |a| < |b|, courbes possédant une asymptote dont les représentants sont les courbes d'équation polaire celle pour lesquelles |a| = |b|, qui regroupe toutes les spirales logarithmiques.

D'autres auteursexcluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné ou asymptotique .

D'autres enfin ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de Cotes.

Spirale de Poinsot de type borné Son équation polaire se ramène à .

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que Formule déduite de donnant la tangente de l'angle que fait la tangente avec le vecteur radial: .

Le rayon de courbure a pour valeurFormule déduite de :

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère.

Spirale de Poinsot de type asymptotique

Son équation polaire se ramène à .

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel queFormules déduites des précédentes en remplaçant cosh et sinh par sinh et cosh: .

Le rayon de courbure a pour valeur:

Voir aussi Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

Notes et références

Bibliographie

Poinsot