vignette|Branche positive d'un lituus En géométrie, un lituus est une courbe plane d'équation polaire :

Le nom de «lituus» lui est donné par Roger Cotes dans son Harmonia mensurarum publié en 1722 en référence à la crosse étrusque de même nom. Cette courbe avait déjà été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire pour m entier positif ou négatif.

Propriétés géométriques Le lituus est une courbe transcendante qui possède pour asymptotes son axe polaire et son pôle. Il possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O.

Pour tout point M situé sur la courbe, on appelle m le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec l'axe polaire. L'aire du secteur angulaire mOM est constant égale à .

Pour tout point M de la courbe, on appelle T le point d'intersection de la tangente avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM) alors la longueur OT est égale à 2a²/OM. Le lituus est donc une courbe dans laquelle la sous-tangente est inversement proportionnelle au rayon. L'aire du triangle OTM est constante égale au double de l'aire du secteur angulaire mOM.

L'aire balayée par le rayon OM de M à M est proportionnelle au logarithme du rapport des rayons:

Le rayon de courbure, pour une courbe paramétrée θ, a pour valeur:

et pour une courbe paramétrée par ρ, s'exprime par:

La courbe possède donc un point d'inflexion pour un rayon égal à et un angle de .

Son abscisse curviligne est donnée par:

et la rectification de la courbe fait intervenir des intégrales elliptiques de deuxième espèce.

Relation avec d'autres courbes Le lituus est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon , de la spirale de Fermat d'équation polaire .

C'est également la radiale de la clothoïde.

Si on fait rouler le lituus sur l'hyperbole d'équation , son centre se déplace sur l'axe des abscisses, p.12.. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704. vignette|centré|Lituus d'équation ρ²θ=1 roulant sur l'hyperbole d'équation dont le centre reste sur l'axe des abscisses.

Notes et références

Bibliographie

. .

Catégorie:Courbe Catégorie:Spirale