Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnellePar exemple: Alexander Grothendieck, La théorie de Fredholm, Bulletin de la S. M. F., tome 84 (1956), p. 319-384., de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.

Introduction - applications bilinéaires

Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :

f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que . f est linéaire à droite, c'est-à-dire que .

Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module M⊗N et une application bilinéaire tels que toute application bilinéaire se factorise de manière unique à droite par , c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire telle que .

On va prouver qu'un tel couple existe et est unique à un isomorphisme près.

Définition

Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A est le A-module des combinaisons linéaires formelles (à coefficients dans A) d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont est la base canonique, en ayant défini par et pour .

On souhaite que les éléments de la forme

soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et l'on note M⊗N le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note la classe de dans M⊗N.

Remarque : dans le module quotient M⊗N, l'image de M×N par est un cône.

Cas de deux modules libres Si les deux A-modules M et N sont libres (par exemple si l'anneau commutatif A est un corps et M, N deux espaces vectoriels sur ce corps) alors leur produit tensoriel est libre : si (m) et (n) sont des bases respectives de M et N, une base de M⊗N est (m⊗n).

En particulier, le produit tensoriel de deux espaces vectoriels M et N a pour dimension dim(M)×dim(N).

Par exemple, le d'un espace vectoriel réel E (cas particulier d'extension des scalaires), qui est par définition l'espace vectoriel complexe ℂ⊗E, a, vu comme espace vectoriel réel, une dimension double de celle de E : tout vecteur de ℂ⊗E est somme d'un produit tensoriel de 1 par un vecteur de E et de par un autre vecteur de E et si (e) est une base de E (sur ℝ), alors une base sur ℝ de ℂ⊗E est formée des 1⊗e et des ⊗e (tandis qu'une base sur ℂ de ℂ⊗E est (1⊗e)).

Généralisation à un produit fini de modules

Ce qui a été fait précédemment se généralise sans peine aux applications multilinéaires. Soit des A-modules. On considère le module produit . Une application est dite n-linéaire si

Quels que soient l'indice i et les n – 1 éléments , l'application partielle est linéaire.

Il existe un A-module que l'on note et une application n-linéaire de E dans telle que pour toute application n-linéaire de E dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire telle que .

En fait, le produit tensoriel de deux modules est associatif au sens suivant : si E, F, G sont trois A-modules, alors les modules (E⊗F)⊗G, E⊗(F⊗G) et E⊗F⊗G sont isomorphes.

Langage des catégories Pour des A-modules fixés, les applications multilinéaires , où F parcourt les A-modules, sont les objets d'une catégorie, un morphisme de l'objet vers l'objet étant une application linéaire h de F dans G telle que . Dans le langage des catégories, la propriété énoncée ci-dessus de l'application de dans , à savoir que pour toute application n-linéaire de dans un module d'arrivée F, il existe une unique application linéaire telle que , revient à dire que est un objet initial de la catégorie en question, éd., Paris, Dunod, 2004, p. 618-620., ou encore : que le foncteur covariant qui à tout module F associe le module des applications multilinéaires est représenté par ; p.156-157.

Par ailleurs, pour un A-module N, fixé, la donnée d'une application bilinéaire de M × N dans F est équivalente à celle d'une application linéaire de M dans le module Hom(N, F) des applications linéaires de N dans F, si bien que le foncteur est adjoint à gauche du foncteur Hom(N, –), c'est-à-dire qu'on a un isomorphisme naturel :

Notes et références

Articles connexes Produit tensoriel d'algèbres Lemme de Yoneda

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