Libellus de quinque corporibus regularibus (Les cinq polyèdres réguliers) est un traité de mathématiques écrit par Piero della Francesca. La datation en est incertaine, mais se situe entre les années 1480 et 1492. Le traité est une réécriture et augmentation de la partie géométrique de son Trattato d'abaco. Plus de la moitié des problèmes sont nouveaux et surtout il y a des découvertes mathématiques importantes.
Il existe un seul codex du Libellus de quinque corporibus regularibus, qui se trouve à la Biblioteca Apostolica Vaticana, MS. Urb.lat.632. Une édition critique et reproduction en facsimilé a été publiée en 1995..
Une copie de chaque page du codex est visible sur Commons : Libellus De Quinque Corporibus Regularibus
Peu de temps après la mort de Piero en 1492, le Libellus et le Trattato d'abaco étaient plagiés par Luca Pacioli et publiés dans ses livres De divina proportione. (1509) et Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita (Venise, 1494), sans citer Piero (voire Plagiat par Luca Pacioli pour plus de détails). C'est ainsi que ses œuvres mathématiques se sont pas passées à la postérité et Piero lui-même est tombé dans un oubli quasi-total pendant 450 ans.
Ré-découverte du Libellus
Au milieu du , avec l’engouement européen pour le début de la Renaissance, les tableaux de Piero della Francesca ont été réévalués. L'aspect mathématique de son œuvre était souvent relégué à référence à Luca Pacioli, l'élève qui a surpassé le maître.
En 1915 G. Mancini a formellement identifié. un codex qui se trouvait dans la bibliothèque du Vatican, et signalé par G. Pitarelli en 1903, comme étant le Libellus de Piero. Les annotations dans les marges et sur certains dessins étaient de la main même de Piero.
Cependant le Libellus avait été retrouvé à au moins deux reprises avant 1903 :
En 1880, l'historien Max Jordan retrouvait le Libellus parmi les manuscrits de la collection d'Urbino dans la bibliothèque du Vatican. Une comparaison avec le Divina Proportione, de Pacioli, publié en 1509, révélait que le Libellus de Pacioli était simplement la traduction en italien du Libellus de Piero..
James Dennistoun, dans son ouvrage Memoirs of the Dukes of Urbino, publié en 1851, a identifié. le manuscrit : Vat. Urb.632 comme étant le Libellus de Piero. (Dennistoun affirme également que le codex Vat Urb.1374 soit aussi l’œuvre de Piero, mais ne donne pas de détails. Il semble que cette affirmation soit erronée et ce codex une copie (circa 1460) de Perspectiva communis de John Peckham).
Dédicace Le traité est dédié au jeune duc Guidobaldo Ier de Montefeltro, qui, à l'âge de 10 ans, succède à son père Frédéric III de Montefeltro en 1482, dont le cour est décrit par Baldassare Castiglione dans Le Livre du courtisan.
Dans le langage fleuri de la dédicace on peut apprécier l'importance que Piero accordait au traité et ses motivations pour l'écrire.
La première page de la dédicace est consacrée principalement à l’éloge des ducs d'Urrbino et en particulier du père de Guidobaldo. C'est sur la deuxième page que Piero devint un peu plus personnel et laisse entrevoir l'importance qu'il donne à son Libellus.
Piero écrit qu'il souhaite que le texte soit conservé à côté d'un précédent texte de lui qu'il avait dédié au père de Guidobaldo et qui s'appelle De ProspectivaIl est probable que Pieri fait référence à un manuscrit De Prospectiva pingendi, mais, selon , au milieu du la bibliothèque des ducs d'Urbino renfermait seulement deux textes avec ce titre De Prospectiva : De Prospectiva communis de John Peckham et De Perspectiva de Vitellion. Cependant le souhaite de Piero fut accordé, car De Prospectiva pingendi manquait un titre et le catalogue de Veterano pour les manuscrits dans la bibliothèque d'Urbino a enregistré les deux œuvres comme un seul : 273 Petri Burgensis pictoris Libellus de quinque corporibus regularibus ad illustrissimum ducen Federicum et Guidonem filium est signalé par . :
En même temps Piero minimise la portée de ses travaux dans des termes très obséquieux :
Il est évident qu'il pense le contraire et ajoute :
Celle-ci est la seule phrase que Piero utilise pour dire qu'il a fait quelque chose de nouveau en géométrie depuis Euclide.
L'objet du traité est dit implicitement par Piero :
Dans son Liber abaci, Leonardo Fibonacci avait commencé l'arithmétisation de la géométrie d'Euclide, première étape vers la géométrie analytique. Fibonacci s'est limité à la géométrie plane, laissant les livres XIII à XV d'Euclide qui traitent la géométrie des solides réguliers. C'est cette lacune que Piero comble dans la deuxième partie du Libellus.
À la fin de sa dédicace Piero affirme qu'il considère le Libellus comme le monument de sa vie :
Le contenu du Libellus
Le traité ne fait pas partie d'un genre existant, tel que le Trattato d'abaco. Comme pour De prospectica pingendi il est de conception originale et surtout de contenu original. Son projet, dit implicitement dans sa dédicace, est très ambitieux, c'est de compléter l’arithmétisation de la géométrie, commencée par Fibonacci dans son Liber abaci. Le travail de Piero est un précurseur de la géométrie analytique de Descartes.
Le Libellus est divisé en quatre livres : I : Figures géométriques planes, qui reprend les démonstrations de Fibonacci. II : Polyèdres inscrits dans une sphère, qui est l'application à trois dimensions du programme de Fibonacci. III : Polyèdres inscrits dans d'autres polyèdres ; Piero propose de nouvelles relations entre certains polyèdres qui ne sont pas dans Euclide. IV : Polyèdres « semi-réguliers », Piero fait une découverte indépendante des polyèdres d'Archimède
L'inspiration du traité de Piero se trouve dans les livres XIII, XIV et XV des Éléments d'Euclide qui culminent dans la description, la construction et l'analyse des relations qui existent entre les cinq polyèdres de Platon. Piero avait déjà commence ce projet dans la section sur la géométrie du Trattato d'abaco. En effet un peu plus que la moitié des problèmes des livres I - III se trouvait dans le Trattao d'abaco, mais Piero les reformule pour être plus clair et plus concis. Le livre IV est complètement nouveau.
Livre I : Figures géométriques planes
Les 44 pages de la première partie du Libellus (f1.r - f23v) sont consacrées à 57 exercices de géométrie plane (polygones, cercles, etc.) et le calcul de divers éléments en fonction de dimensions données. Fibonacci avait déjà fait ce travail et cette première partie du Libellus est un rappel et mise en bouche par Piero pour la suite, qui est le traitement de la géométrie en trois dimensions, un travail originel de Piero.
Piero passe en revue les méthodes utilisées par Fibonacci dans son Liber abaci pour l’arithmétisation de la géométrie plane, c'est-à-dire dans un langage moderne : calculer les coordonnées de chaque point ; calculer des aires numériquement. De ce point de vue on peut transformer les constructions euclidiennes en problèmes d'arithmétique, allant de la construction d'un pentagone avec règle et compas à une formule pour son aire en fonction de la longueur d'un côté.
Fibonacci et Piero sont très handicapés dans leurs démonstrations par un problème de notation. L'idée que l'on peut représenter un chiffre quelconque par un symbole etc. et ensuite représenter les opérations d'arithmétique sur des chiffres par des opérations semblables sur les symboles et que le résultat final, une « formule » avec des symboles qui donne la valeur correcte quand on replace chaque symbole par une valeur numérique, n'est pas encore développée. Dans ses exercices, Piero utilise toujours des exemples avec des valeurs numériques bien spécifiques, mais sa méthode de résolution est toujours algorithmique : une série de règles et opérations de calcul à suivre pour obtenir le résultat. Le lecteur voit que s'il commence la série de calculs avec d'autres valeurs numériques il obtiendra toujours le résultat correspondant. On peut dire, sans trop d'exagération, que Piero formule ses exercices comme des programmes informatiques.
L'opération de base de Piero, et traitée dans le problème N°1, est la projection orthogonale d'un segment de ligne droite sur une autre ligne droite et est illustrée dans le cas d'un triangle dans la figure ci-contre. Si les côtés du triangle sont donnés numériquement et est la hauteur du triangle par rapport à , Piero cherche à calculer la distance , la distance BD et l'aire du triangle . est la projection orthogonale de sur ( la projection orthogonale de sur ) ; les valeurs numériques pour et sont les coordonnées cartésiennes du point ; l'aire du triangle est égale à la longueur multipliée par la longueur , le tout divisé par deux.
Tous les algorithmes de Piero sont basés sur l'utilisation très habile du théorème de Pythagore et la projection orthogonale. Pour le lecteur qui désire suivre le raisonnement de Piero, les détails sont exposés dans les boîtes déroulantes ci-dessous (avec une notation symbolique, pour faciliter l'exposé.
D'abord un rappel du théorème de Pythagore : pour un triangle rectangle, de côtés de longueurs on a .
Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés (en symboles ) :
Il n'est pas de tout évident que c'est vrai !
Démonstration :
Si on place quatre copies du triangle dans un cadre de côté sans chevauchement, alors l'aire du cadre qui n'est pas couvert par les quatre triangles est toujours la même pour chaque placement des triangles.
Considérons les deux façons de placer les quatre copies des triangles :
Donc, l'aire du carré sur l'hypoténuse (partie bleue du cadre non couvert dans la première configuration) est égale à la somme des aires des carrés sur les deux autres côtés (les aires jaune et verte, la partie du cadre non couvert dans la deuxième configuration) : le théorème de Pythagore.
Étant donnés les côtés d'un triangle général, la formule basique de Piero pour la projection orthogonale est : .
La démonstration, suivant les règles de Piero, mais en utilisant des symboles est une double application du théorème de Pythagore : Applique Pythagore au triangle rectangle : Applique Pythagore au triangle rectangle : Par substitution de : Donc, ou .
La hauteur du triangle est donnée par le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle :
Si on pousse la représentation symbolique des règles de Piero un peu plus loin on obtient la célèbre formule de Héron qui donne l'aire d'un triangle en fonction des longueurs des côtés :
Calculer utilisant le triangle rectangle BDC :
Pour simplifier l'expression algébrique, on applique l'identité remarquable :
Appliquons l'identité remarquable encore deux fois :
Il est de coutume de noter , c'est-à-dire s = la moitié du périmètre du triangle. On obtient :
L'aire, du triangle est : , donc , la célèbre formule de Héron.
Livre II : Polyèdres inscrits dans une sphère
Il existe cinq, et seulement cinq, polyèdres convexes avec chaque face la même polygone régulier et à chaque vertex le même nombre d'arêtes : les polyèdres de Platon, les quinque corporibus regularibus du titre de l’œuvre. Les sommets de chaque polyèdre de Platon se situent sur la surface d'une sphère.
Ce livre (codex f24r - 37v) contient 37 problèmes. Piero calcule aires et volumes à partir des longueurs des arêtes des polyèdres, rayons des sphères qui les circonscrivent, etc. Le problème 37 est un problème « inverse » : le volume est connu, il faut calculer la longueur d'un arête :
Problème 37 (f.37.r) : Étant donné un icosaèdre de volume (sic), quelle est la longueur d'une arête ?
Le résultat donné par Piero après une page de calcul, aidé par un dessin de l'icosaèdre, est brachia.