En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu.
Énoncé
Soit une fonction d'un intervalle dans . Si est convexe, alors, pour trois points quelconques , et de ,
Si une fonction est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout , et de . Lorsque est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour .
Généralisation
Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois :
Soit une fonction continue d'un intervalle dans . Alors est convexe si et seulement si, pour tout entier et où et et points quelconques de ,
L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondérée. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en Page 1, Page 2.
Notes et références
Catégorie:Analyse convexe Popoviciu