En mathématiques, les inégalités de Newton découvertes par le mathématicien Isaac Newton relient entre elles les fonctions symétriques élémentaires.
Soient des nombres réels strictement positifs et, pour , les moyennes symétriques définies par Les numérateurs de ces expressions sont les fonctions symétriques élémentaires en les variables . Le coefficient binomial au dénominateur est le nombre de termes du numérateur conformément à la définition d'une moyenne arithmétique. est la moyenne arithmétique, et la moyenne géométrique.
Alors, les inégalités de Newton s'écrivent, pour et en posant :
Ces inégalités sont strictes, sauf si tous les sont égaux.
Par exemple, pour , les inégalités de Newton s'écrivent et .
Articles connexes
Inégalités de Maclaurin qui en sont une conséquence.
Références
Mathématiques de la matrice DS Bernstein : Théorie, faits et formules (2009, Princeton) p. 55
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