En géométrie, une structure de Poisson sur une variété différentielle est un crochet de Lie (appelé crochet de Poisson dans ce cas) sur l'algèbre des fonctions lisses de à valeurs réelles, vérifiant formule de Leibniz
.
En d'autres termes, une structure de Poisson est structure d'algèbre de Lie sur l'espace vectoriel des fonctions lisses sur de sorte que est un champ de vecteurs pour toute fonction lisse , appelé champ de vecteurs hamiltonien associé à .
Definition Soit une variété différentielle. Soit l'algèbre des fonctions de classe de à valeurs réelles, où la multiplication est définie point par point. Un crochet de Poisson sur est une application -bilinéaire
vérifiant les trois axiomes: Antisymétrie: . Relation de Jacobi: . Formule de Leibniz: .
Les deux premiers axiomes assurent que définit une structure d'algèbre de Lie sur , tandis que le troisième assure que pour tout fonction , son adjoint est une dérivation de , c'est-à-dire qu'il constitue un champ de vecteurs . Il s'ensuit que le crochet des fonctions et est de la forme
,
où est un champ de bivecteurs lisse, appelé tenseur de Poisson.
Réciproquement, étant donné un champ de bivecteurs lisse sur , la formule définit un crochet bilinéaire antisymétrique qui vérifie automatiquement la règle de Leibniz.
Exemples
Toute variété peut être munie d'une structure de Poisson triviale par la formule . Toute variété symplectique dispose naturellement d'une structure de Poisson, dont le tenseur est défini comme l'inverse de la forme symplectique . On peut noter qu'avec une telle définition, la fermeture de la forme symplectique est équivalente à l'identité de Jacobi pour le crochet de Poisson associé. Le dual d'une algèbre de Lie est une variété de Poisson. Une description globale du crochet est la suivante: est en bijection naturelle avec les fonctions linéaires sur , on définit alors pour tous et .
Morphisme de Poisson Si et sont deux variétés de Poisson, une application lisse est un morphisme de Poisson s'il respecte la structure de Poisson, c'est-à-dire que pour tout et toute fonction , on a:
En termes de tenseurs de Poisson, cette condition revient à dire que n'est autre que le tiré en arrière de par .
Les variétés de Poisson forme les objets d'une catégorie , dont les morphismes de Poisson sont les flèches.
Références
Available at thesis See also the review by Ping Xu in the Bulletin of the AMS.
Poisson Catégorie:Géométrie symplectique