En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.

La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle . Elle est notée arctanExtraits de la norme ISO 31-11 à l'usage des CPGE, . ou Arctan Programme officiel de l'Éducation nationale (MPSI, 2013), ., mais aussi Atan ou arctg en français et atan ou tan en anglais (attention de bien écrire et non ).

Pour tout réel : .

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle par une réflexion d'axe la droite d'équation (puisqu'elle en est la fonction réciproque).

Cette fonction réelle se prolonge au plan complexe en une fonction holomorphe sur .

Parité La fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel )

Dérivée La fonction est dérivable (voir à dérivée d'une fonction réciproque) et vérifiePour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Fonction arctan » sur Wikiversité. :

Développement en série de Taylor Le développement en série de Taylor en 0 de la fonction arc tangenteConnue des anglophones sous le nom de « série de Gregory », elle avait en fait été déjà découverte par le mathématicien indien Madhava au . Voir l'article sur la série de Madhava pour plus de détails. est : .

Bien que fonction arc tangente soit définie pour tout réel, cette série entière converge vers uniquement pour . On peut donc énoncer : .

La fonction peut être utilisée pour calculer des approximations de ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas du développement en série ci-dessus : .

Équation fonctionnelle On peut déduire de et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes : ; .

Fonction réciproque Par définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle :

Ainsi, pour tout réel , . Mais l'équation n'est vérifiée que pour compris entre et .

Intégration

Primitive La primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties : .

Utilisation de la fonction arc tangente

La fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

Si le discriminant est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par

qui donne pour l'expression à intégrer

L'intégrale est alors .

Formule remarquable Si , alors :

où

D'où, si , alors :

où

De même, pour , on peut trouver une formule impliquant l'involution :

avec

Autres utilisations La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.

Extension aux nombres complexes Comme, pour complexe différent de , la fonction tangente complexe vérifie , la relation équivaut à . On définit donc, pour complexe différent de la fonction complexe multivaluée arc tangente par :

,

fonction définie à près, la fonction logarithme népérien complexe étant définie à près.

La détermination principale de la fonction arc tangente complexe est alors définie pour dans privé des deux demi-droites et de l'axe imaginaire pur par

,

où est la détermination principale du logarithme népérien.

Cette définition concorde avec celle de la fonction définie sur les réels.

Pour réel, la définition ci-dessus donne qui est bien égal à .

Comme la fonction tangente complexe définit une bijection de dans privé des deux demi-droites et de l'axe imaginaire pur, prolongeant la fonction tangente réelle, la détermination principale de la fonction arc tangente complexe vérifie : Le développement en série entière, valable pour est : .

De plus, par construction, cette détermination principale est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique

.

Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Atan2 Fonction circulaire réciproque L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel. Définition de la fonction arc tangente sur les complexes

Lien externe

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