vignette|Fonction de Langevin (en rouge), avec deux approximations pour des petits x : développement en fraction continue tronqué (en vert), et développement limité à l'ordre 3 (en bleu).

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par où coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Contexte La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme , ainsi que celle de systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante.

Le matériau est décrit comme une assemblée de dipôles magnétiques classiques indépendants, ayant chacun un moment magnétique dont la direction est libre mais le module, , est fixe. L'énergie de chaque dipôle est alors .

Calcul de l'aimantation moyenne On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas, l'aimantation du matériau vaut où est la densité de moments magnétiques et la valeur moyenne de ces moments est donnée par la loi de Boltzmann :

où est la constante de Boltzmann, la température, l'élément d'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour .

Résultat Des manipulations élémentaires mènent alors à

où est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique

À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a  : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures , l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour , la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :

ou en fraction continue généralisée :

Dans le régime des hautes températures (), on peut garder le seul premier terme de ces développements (), ce qui conduit à la loi de Curie :

avec la susceptibilité magnétique.

La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :

Voir aussi Fonction de Brillouin : analogue de la fonction de Langevin pour des moments magnétiques quantiques.

Catégorie:Magnétisme Langevin Catégorie:Nommé d'après Paul Langevin