En mathématiques, l'homologiedu grec ὁμός homos "identique" est une manière générale d'associer une séquence d'objets algébriques tels que des groupes abéliens ou des modules à d'autres objets mathématiques tels que des espaces topologiques. Les groupes d'homologie ont été définis à l'origine dans la topologie algébrique. Des constructions similaires sont disponibles dans beaucoup d'autres contextes, tels que l'algèbre abstraite, les groupes, les algèbres de Lie, la théorie de Galois et la géométrie algébrique.
La motivation initiale pour définir les groupes d'homologie était l'observation que deux formes peuvent être distinguées en examinant leurs trous. Par exemple, un cercle n'est pas un disque car le cercle est perforé alors que le disque est solide et la sphère n'est pas un cercle car la sphère renferme un trou bidimensionnel alors que le cercle renferme un trou unidimensionnel. Cependant, étant donné qu’un trou n’est « pas là », définir un trou et distinguer différents types de trous n'est pas évident. L'homologie était à l'origine une méthode mathématique rigoureuse pour définir et classer les trous dans une variété. Sommairement, un cycle est une sous-variété fermée, une limite est un cycle qui est également la limite d'une sous-variété et une classe d'homologie (qui représente un trou) est une classe d'équivalence de cycles modulo une limite. Une classe d'homologie est donc représentée par un cycle qui n'est la limite d'aucune sous-variété : le cycle représente un trou, à savoir une variété hypothétique dont la limite serait ce cycle, mais qui « n'est pas là ».
Il existe de nombreuses théories d'homologie. Un type particulier d'objet mathématique, tel qu'un espace topologique ou un groupe, peut avoir une ou plusieurs théories d'homologie associées. Lorsque l'objet sous-jacent a une interprétation géométrique, à l'instar des espaces topologiques, le n-ième groupe d'homologie représente le comportement dans la dimension n. La plupart des groupes d'homologie ou des modules peuvent être formulés en tant que foncteurs dérivés sur des catégories abéliennes appropriées, en mesurant l'incapacité d'un foncteur à être exact. Dans cette perspective abstraite, les groupes d'homologie sont déterminés par des objets d'une catégorie dérivée.
Contexte
Origines La théorie de l'homologie commence avec la formule du polyèdre d'Euler, ou caractéristique d'Euler.. Viennent ensuite la définition de Riemann des invariants numériques de genre et de n-connexité en 1857 et la preuve de Betti en 1871 de l'indépendance des « nombres d'homologie » par rapport au choix de la base..
L'homologie elle-même a été développée pour analyser et classer des variétés en fonction de leurs cycles, boucles fermées (ou plus généralement sous-variétés) pouvant être dessinées sur une variété n dimensionnelle donnée mais ne se déformant pas continûment.. Ces cycles sont aussi parfois considérés comme des coupes qui peuvent être collées, ou comme des fermetures éclair qui peuvent être fermées ou non. Les cycles sont classés par dimension. Par exemple, une ligne dessinée sur une surface représente un cycle, une boucle fermée ou (1-variété), tandis qu'une surface coupée à travers une variété tridimensionnelle est un 2-cycle.
Surfaces gauche|vignette|200x200px| Cycles sur une 2-sphère. Sur la sphère ordinaire , le cycle b du diagramme peut être réduit au pôle, et même le grand cercle équatorial a peut être réduit de la même manière. Le théorème de Jordan montre que tout cycle arbitraire comme c peut être réduit de la même manière à un point. Tous les cycles de la sphère peuvent donc être transformés en permanence et appartiennent à la même classe d'homologie. On dit qu'ils sont homologues à zéro. Découper une variété le long d'un cycle homologue à zéro la sépare en deux composantes ou plus. Par exemple, découper la sphère le long de a produit deux hémisphères. vignette|256x256px| Cycles sur un tore. Ce n'est généralement pas le cas des cycles sur d'autres surfaces. Le tore a des cycles qui ne peuvent pas être continuellement déformés les uns dans les autres, par exemple, dans le diagramme, aucun des cycles a, b ou c ne peut être déformé l'un dans l'autre. En particulier, les cycles a et b ne peuvent pas être réduits à un point alors que le cycle c le peut, le rendant ainsi homologue à zéro.
Si la surface du tore est découpée à la fois en a et en b, elle peut être ouverte et aplatie en un rectangle ou, plus commodément, en un carré. Une paire de côtés opposés représente la coupe le long de a, et l'autre paire opposée représente la coupe le long de b .
Les bords du carré peuvent ensuite être recollés de différentes manières. Le carré peut être tordu pour permettre aux bords de se rencontrer dans la direction opposée, comme indiqué par les flèches sur le diagramme. Jusqu'à symétrie, il existe quatre manières différentes de coller les côtés, chacune créant une surface différente. centré|vignette|460x460px| Les quatre façons de coller un carré pour former une surface fermée : coller des flèches simples ensemble et coller des flèches doubles ensemble. gauche|vignette|240x240px| Cycles sur une bouteille de Klein. est la bouteille de Klein, qui est un tore avec une torsion (La torsion peut être vue dans le diagramme carré comme l’inversion de la flèche du bas). C'est un théorème que la surface recollée doit s'auto-intersecter (lorsqu'elle est dans un espace à 3 dimensions). Comme pour les tores, les cycles a et b ne peuvent pas être réduits tandis que c peut l'être. Mais contrairement au tore, suivre b en avant, à droite et en arrière retourne la gauche et la droite, car b coupe la torsion donnée à une jointure. Si une coupe équidistante d'un côté de b est réalisée, elle revient de l'autre côté et contourne une seconde fois la surface avant de revenir à son point de départ en découpant une bande de Möbius torsadée. Comme les zones de gauche et de droite locales peuvent être réorientées de manière arbitraire de cette manière, la surface dans son ensemble est dite non orientable. vignette|246x246px| Cycles sur un plan projectif hémisphérique. Le plan projectif a les deux jointures tordues. La forme non coupée, généralement représentée par la surface de Boy, est visuellement complexe, de sorte qu'une incorporation hémisphérique est montrée dans le diagramme, dans lequel les points antipodaux autour du bord, tels que A et A′, sont identifiés comme le même point. Encore une fois, a et b sont non-rétractables alors que c l'est. Mais cette fois, a et b inversent la gauche et la droite.
Les cycles peuvent être joints ou ajoutés ensemble, comme en a et en b sur le tore quand il était ouvert et aplati. Dans le diagramme de la bouteille de Klein, a fait le tour dans un sens et --a fait le tour dans le sens opposé. Si a est considéré comme une coupe, -a peut être considéré comme une opération de collage. Faire une coupe puis la recoller ne change pas la surface, donc a + (-a) = 0.
Considérons maintenant deux a-cycles. Étant donné que la bouteille de Klein est non orientable, on peut transporter un d'eux tout autour de la bouteille (le long de la b-cycle), et il va revenir en -a. En effet, la bouteille de Klein est fabriquée à partir d'un cylindre, dont les extrémités a-cycle sont collées ensemble avec des orientations opposées, d'où 2a = a + a = a + (-a) = 0. Ce phénomène s'appelle la torsion. De même, dans le plan projectif, le fait de suivre le cycle insécable b deux fois crée remarquablement un cycle trivial qui peut être réduit à un point ; c'est-à-dire que b + b = 0. Puisque le cycle b doit être suivi deux fois pour atteindre un cycle nul, on dit que la surface a un coefficient de torsion de 2. Cependant, le fait de suivre un cycle b deux fois dans la bouteille de Klein donne simplement b + b = 2 b, car ce cycle vit dans une classe d'homologie sans torsion. Cela correspond au fait que dans le polygone fondamental de la bouteille de Klein, une seule paire de côtés est collée en torsion, alors que dans le plan projectif, les deux côtés sont torsadés.
Un carré est un espace topologique contractable, ce qui implique une homologie triviale. Par conséquent, des coupes supplémentaires le déconnectent. Le carré n'est pas la seule forme dans le plan qui puisse être collée sur une surface. Le collage des côtés opposés d'un octogone, par exemple, produit une surface avec deux trous. En fait, toutes les surfaces fermées peuvent être produites en collant les côtés de certains polygones et tous les polygones à côtés égaux (2n-gones) peuvent être collés pour créer différentes variétés. Inversement, une surface fermée avec n classes non nulles peut être découpée en 2n-gone. Des variations sont également possibles, par exemple un hexagone peut également être collé pour former un tore..
La première théorie d'homologie reconnaissable a été publiée par Henri Poincaré dans son article fondateur « Analysis situs ».. L'article introduit les classes et les relations d'homologie. Les configurations possibles des cycles orientables sont classées par les nombres de Betti de la variété (les nombres de Betti sont un raffinement de la caractéristique d'Euler). La classification des cycles non orientables nécessite des informations supplémentaires sur les coefficients de torsion.
La classification complète des 1- et 2-variétés est donnée dans le tableau. + Caractéristiques topologiques des 1- et 2-variétés fermées. Variété Caractéristique d'Euler χ Orientabilité Nombres de Betti Coefficient de torsion (1 dimension) Symbole Nom b0 b1 b2 Cercle (1-variété) 0 Orientable 1 1 N / A N / A Sphère 2 Orientable 1 0 1 aucun Tore 0 Orientable 1 2 1 aucun Plan projectif 1 Non-orientable 1 0 0 2 Bouteille de Klein 0 Non-orientable 1 1 0 2 Tore à 2 trous −2 Orientable 1 4 1 aucun Tore à g trous (genre = g) 2 − 2g Orientable 1 2g 1 aucun Sphère avec c cross-caps 2 − c Non-orientable 1 c − 1 0 2 2-variété avec g trous et c cross-caps (c > 0) 2 − (2g + c) Non-orientable 1 (2g + c) − 1 0 2
Remarques : Pour une surface non orientable, un trou équivaut à deux calottes croisées ; Toute 2-variété est la somme connexe de g tore et c plans projectifs. Pour la sphère , g = c = 0.
Généralisation Une variété avec une limite ou une variété ouverte est topologiquement distincte d'une variété fermée et peut être créée en effectuant une coupe dans toute variété fermée appropriée. Par exemple, le disque ou 1-balle est délimité par un cercle . Il peut être créé en coupant un cycle trivial dans n'importe quelle 2-variété et en gardant le morceau enlevé, en perçant la sphère et en étirant la ponction, ou en coupant le plan projectif. Cela peut aussi être vu comme remplir le cercle dans le plan.
Lorsque deux cycles peuvent être déformés de façon continue l'un par l'autre, la coupe le long de l'un d'eux produit la même forme que la coupe le long de l'autre, jusqu'à une certaine flexion et un certain étirement. Dans ce cas, les deux cycles sont dits homologues ou appartenant à la même classe d'homologie. De plus, si un cycle peut être continuellement déformé en une combinaison d’autres cycles, alors couper le long du cycle initial est identique à couper le long de la combinaison des autres cycles. Par exemple, couper le long d'une figure 8 équivaut à couper le long de ses deux lobes. Dans ce cas, le chiffre 8 est dit homologue à la somme de ses lobes.
Deux variétés ouvertes ayant des limites similaires (jusqu’à certaines flexions et étirements) peuvent être collées ensemble pour former une nouvelle variété qui constitue leur somme liée.
Cette analyse géométrique des variétés n'est pas rigoureuse. À la recherche d'une plus grande rigueur, Poincaré développa l'homologie simpliciale d'une variété triangulée et créa ce que l'on appelle aujourd'hui un complexe en chaîne... Ces complexes de chaîne (depuis très généralisés) forment la base de la plupart des traitements d'homologie modernes.