En mathématiques, les coefficients fibonomiaux ou Fibonacci-binomiaux sont définis, pour et , deux entiers naturels tels que par :
où est la factorielle de Fibonacci , à savoir
où est le nombre de Fibonacci (avec la convention ).
Pour , on peut écrire .
Valeurs particulières Les coefficients fibonomiaux sont entiers comme le montrera la relation de récurrence ci-dessous.
Voici quelques valeurs particulières :
Triangle fibonomial De même que les coefficients binomiaux, disposés en triangle, forment le triangle de Pascal, les coefficients fibonomiaux, forment un triangle dit fibonomial, répertorié comme .
En voici les huit premières lignes : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 6=2×3 3 1 1 5 15=3×5 15 5 1 1 8 40=5×8 60 40 8 1 1 13 104=8×13 260 260 104 13 1 Relation de récurrence similaire à la relation de Pascal, permettant de construire le triangle, connaissant ses bords remplis de 1 : .
Autre relation, similaire à la formule du pion, permettant de construire le triangle : .
Les coefficients fibonomiaux sont reliés aux coefficients q-binomiaux par la formule : , où est le nombre d'or, .
Ils vérifient le deuxième théorème de l'étoile de David :
Application Dov Jarden a prouvé que les coefficients fibonomiaux apparaissent comme coefficients d'une relation entre puissances de nombres de Fibonacci généralisés consécutifs. Plus précisément, pour toute suite de Fibonacci généralisée (c'est-à-dire satisfaisant à pour tout entier ), on a :
pour tout entier et tout entier naturel .
Références
Catégorie:Triangle de nombres Catégorie:Coefficient binomial Catégorie:Suite de Fibonacci