La théorie des poutres est un modèle utilisé dans le domaine de la résistance des matériaux. On utilise deux modèles : la théorie d'Euler-Bernoulli, qui néglige l'influence du cisaillement ; la théorie de Timoshenko qui prend en compte l'effet du cisaillement. Le terme de « poutre » désigne un objet dont la longueur est grande par rapport aux dimensions transverses (section fine). Stricto sensu, une poutre est un élément de structure utilisé pour la construction dans les bâtiments, les navires et autres véhicules, et dans la fabrication de machines. Cependant, le modèle des poutres peut être utilisé pour des pièces très diverses à condition qu'elles respectent certaines conditions.
Historique
La paternité de la théorie des poutres est attribuée à Galilée, mais des études récentes indiquent que Léonard de Vinci l'aurait précédé. Ce dernier avait supposé que la déformation variait de manière linéaire en s'éloignant de la surface neutre, le coefficient de proportionnalité étant la courbure, mais il ne put finaliser ses calculs car il n'avait pas imaginé la loi de Hooke. De son côté, Galilée était parti sur une hypothèse incorrecte (il supposait que la contrainte était répartie uniformément en flexion), et c'est Antoine Parent qui obtint la distribution correcte.
Ce sont Leonhard Euler et Jacques Bernoulli qui émirent la première théorie utile vers 1750, tandis que Daniel Bernoulli, le neveu du précédent, écrivit l'équation différentielle pour l'analyse vibratoire. À cette époque, le génie mécanique n'était pas considéré comme une science, et l'on ne considérait pas que les travaux d'une académie des mathématiques puissent avoir des applications pratiques, et l'on continua à bâtir les ponts et les bâtiments de manière empirique. Ce n'est qu'au , avec la Tour Eiffel et les grandes roues, que l'on démontra la validité de la théorie à grande échelle.
Principes de modélisation
Démarche
thumb|300px|Démarche pour l'étude des poutres.|alt=
Pour étudier les poutres, on met en relation : les efforts de cohésion avec les efforts extérieurs, grâce au principe de la coupure ; les efforts de cohésion avec le tenseur des contraintes, grâce au principe d'équivalence ; le tenseur des contraintes avec le tenseur des déformations, grâce à la loi de Hooke généralisée ; et la forme finale de la poutre, c'est-à-dire le champ des déplacements, avec le champ de tenseur des déformations. Le modèle de poutre permet de passer des efforts de cohésion au tenseur des contraintes ; il permet d'appliquer le principe d'équivalence.
Modèle de la poutre
thumb|Quelques poutres classiques.|alt= thumb|400px|Définition des termes : poutre de courbe moyenne GOGE, de section droite S, et fibre neutre de section dS.|alt=
On appelle « poutre » un solide engendré par des surfaces finies, appelées « sections droites », telles que : l'ensemble des centres de gravité des sections droites est une courbe continue et différentiable, appelée « courbe moyenne » ; son rayon de courbure est grand devant sa longueur ; les sections droites sont perpendiculaires à la courbe moyenne ; elles « varient de manière continue et lente » ; la racine carrée de la surface des sections droites est petite devant la longueur de la courbe moyenne ; le matériau est homogène et isotrope. Si le rayon de courbure est faible ou que la section varie brutalement, il faudra considérer les concentrations de contrainte.
Dans les cas les plus simples, notamment celui des poutres au sens « élément de structure » (fer, tube) la courbe moyenne est droite et les sections droites sont identiques.
Mais on peut modéliser d'autres types de pièces. Par exemple, un arbre de transmission, un axe, un levier, un tuyau, un réservoir, ou même la coque d'un navire peuvent être modélisés par une poutre ; un ressort hélicoïdal (ressort à boudin) peut être considéré comme une poutre dont la courbe moyenne est hélicoïdale, et dont les sections droites sont des disques de même rayon.
On appelle « fibre » un volume généré par une petite portion d²S de la section droite suivant une courbe parallèle à la courbe moyenne. On appelle « fibre neutre » la fibre générée par la courbe moyenne elle-même.
Pour simplifier, sauf indication contraire, nous dessinerons des poutres dont la courbe moyenne est une droite avant déformation.
thumb|400px|La modélisation consiste à définir des paramètres de forme (L, IG, IGy, IGz) à partir de la forme de la pièce réelle.
Finalement, l'étape de modélisation consiste à : d'une part considérer la fibre neutre seule, caractérisée par sa longueur L (et si la poutre n'est pas droite, par une fonction y(x)) ; d'autre part à considérer les sections droites, caractérisées par leur aire S (pour la traction-compression) et leurs moments quadratiques IG (pour la torsion), IGy et IGz (pour la flexion).
Hypothèses pour les calculs
thumb|300px|Hypothèse des petites déformations (haut) : les sections droites restent planes et perpendiculaires à la courbe moyenne ; pour les grandes déformations (bas), les hypothèses ne sont plus respectées, les sections droites deviennent gauches et ne sont plus perpendiculaires à la courbe moyenne.
La théorie des poutres est une application de la théorie de l'élasticité isotrope. Pour mener les calculs de résistance des matériaux, on considère les hypothèses suivantes : hypothèse de Bernoulli : au cours de la déformation, les sections droites restent perpendiculaires à la courbe moyenne ; les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchissement). L'hypothèse de Bernoulli permet de négliger le cisaillement dans le cas de la flexion : le risque de rupture est alors dû à l'extension des fibres situées à l'extérieur de la flexion, et la flèche est due au moment fléchissant. Cette hypothèse n'est pas valable pour les poutres courtes car ces dernières sont hors des limites de validité du modèle de poutre, à savoir que la dimension des sections doit être petite devant la longueur de la courbe moyenne. Le cisaillement est pris en compte dans le modèle de Timoshenko et Mindlin.
Calculs de résistance et de déformée
Le but est de déterminer pour chaque point : le tenseur des contraintes afin de vérifier qu'il n'y a pas rupture (état limite ultime, ELU) ; la déformée finale, afin de vérifier que la poutre garde des dimensions compatibles avec son utilisation (état limite en service, ELS).
Efforts de cohésion
thumb|300px|Principe de la coupure pour une poutre encastrée subissant une charge répartie q et une charge concentrée à son extrémité libre : le tronçon de gauche () exerce une action mécanique sur le tronçon de droite (), et de manière réciproque, le tronçon 2 exerce une action mécanique sur le tronçon 1.
Pour cela, on définit les efforts de cohésion, ou efforts intérieurs, en chaque point de la courbe moyenne, sous la forme d'un torseur d'action appelé « torseur de cohésion » ou « torseur des efforts intérieurs ». Si l'on effectue une coupure selon une section droite (principe de la coupe), les efforts de cohésion sont les efforts qu'exerce un des tronçons sur l'autre. On a donc deux conventions : la convention des efforts à gauche : on considère les efforts qu'exerce le tronçon de gauche sur le tronçon de droite (à droite sur la figure ci-contre) ; la convention des efforts à droite : on considère les efforts qu'exerce le tronçon de droite sur le tronçon de gauche (à gauche sur la figure ci-contre).
thumb|300px|Définition des composantes du torseur de cohésion.|alt= Si l'on choisit le repère de sorte que x soit tangent à la courbe moyenne au niveau de la coupure, alors le torseur de cohésion s'obtient en écrivant le principe fondamental de la statique sur le tronçon considéré, et s'écrit de manière générale :
ou bien
N, effort normal : force de direction tangente à la courbe moyenne ; T ou V, effort tranchant : force perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant un cisaillement : Ty ou Vy : effort tranchant selon y, Tz ou Vz : effort tranchant selon z ; Mf, moment fléchissant : moment dont le vecteur est perpendiculaire à la courbe moyenne et provoquant une flexion : Mfy : moment fléchissant selon y, Mfz : moment fléchissant selon z ; Mt, moment de torsion : son vecteur a pour direction x. En deux dimensions, la simplification consiste à considérer que seul un effort tranchant, un effort de traction et un moment fléchissant est transmis de section à section, suivant le principe de la coupe. En général, on se place dans le plan (Gxy), le torseur de cohésion devient donc.
Diagrammes des efforts intérieurs
On peut représenter de manière simple la sollicitation de la poutre en traçant le diagramme des efforts transmis de section à section en fonction de la position le long de la poutre, c'est-à-dire que l'on représente N(x), Ty(x), Tz(x), Mt(x), Mfy(x) et/ou Mfz(x). Ce diagramme est parfois appelé à tort diagramme des contraintes.
On représente ces derniers comme des fonctions le long de l'axe des en traçant des lignes.
Contraintes
Les efforts de cohésion sont des grandeurs macroscopiques, définies sur l'ensemble de la section. Du fait de la linéarité du problème (on reste en petites déformations), on peut considérer indépendamment chaque composante, c'est-à-dire considérer que la poutre n'est soumise à chaque fois qu'à une seule sollicitation simple.
Le principe d'équivalence établit une relation entre chaque effort de cohésion et les contraintes générées localement en chaque point de la section. Pour les sollicitations complexes, on somme les contraintes de toutes les sollicitations simples (principe de superposition).
Selon le principe de Saint-Venant, les efforts sont correctement représentés lorsqu'on s'éloigne du point d'application. Ainsi, si localement cette modélisation ne donne pas de bons résultats, on peut les considérer comme presque corrects dès que la distance au point d'application dépasse plusieurs fois le diamètre de la section. Ce principe n'est valable que pour des poutres massives, pour la plupart des autres cas il est faux. Il faut en ce sens entendre « poutre massive » lorsqu'ici est évoqué la notion de poutre.
Par la suite, la grandeur S désigne l'aire de la section droite.
Traction simple
thumb|200px|Effort normal et contrainte
L'effort normal N correspond à de la traction simple, on a donc la contrainte uniforme .
Cisaillement
thumb|200px|Cisaillement simple : les forces sont coaxiales
thumb|200px|Effort tranchant et cission dans le cas du cisaillement simple.|alt=
Les efforts tranchants Ty et Tz causent le cisaillement, mais il faut distinguer deux cas : celui du cisaillement simple et celui de la flexion simple. Dans les deux cas, les efforts extérieurs sont appliqués parallèlement à la section droite, c'est-à-dire perpendiculairement à la courbe moyenne.
Dans le cas du cisaillement simple, les efforts sont appliqués à la même abscisse x. Hormis au droit des points d'application des efforts, les contraintes sont uniformes (principe de Barré de Saint-Venant) : , et .
thumb|200px|Présence de cisaillement selon y associé au cisaillement selon x, nécessaire pour éviter la rotation d'un élément de matière
Si l'on isole un petit élément cubique de matière, on voit que la cission qu'il subit sur les sections droites devraient le faire tourner. Il subit donc également une cission sur les faces perpendiculaires à l'axe (Gy)C'est une condition d'équilibre pour empêcher la rotation de l'élément cubique, la conséquence est que le tenseur des contraintes est une matrice symétrique.. Il y a donc également cisaillement entre les fibres adjacentes. On peut voir cela en faisant fléchir un paquet de cartes : les cartes glissent les unes sur les autres ; la poutre peut se voir comme un paquet dont les cartes seraient collées, la force de l'adhérence empêchant les cartes de glisser.
thumb|200px|Flexion simple : les forces sont décalées.|alt=