Dans la théorie des nombres, l´ordre normal d'une fonction arithmétique est une fonction plus simple ou mieux comprise que la première qui prend "habituellement" les mêmes valeurs ou des valeurs approximatives.
Soit f une fonction définie sur les nombres naturels. On dit que g est un ordre normal de f si pour tout , les inégalités
sont vraies pour presque tout n, c'est-à-dire, que la proportion de n ≤ x, pour lesquelles ces inégalités sont fausses, tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
Il est classique de supposer que la fonction d'approximation g est continue et monotone.
Exemples
Le théorème de Hardy-Ramanujan : l'ordre normal de , le nombre de facteurs premiers distincts de n, est ; L'ordre normal de , le nombre de facteurs premiers de n comptés avec la multiplicité, est également ; L'ordre normal de , où est le nombre de diviseurs de n, est égal à .
Voir également
Ordre moyen d'une fonction arithmétique Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs Ordres extrêmes d'une fonction arithmétique
Références
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) . An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. . MR 2445243. Zbl 1159.11001.. p. 473 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, p. 332, , Zbl 1079.11001 Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Dunod (2022) .
Catégorie:Fonction arithmétique Catégorie:Pages avec des traductions non relues