La fonction de Collatz, inventée par Lothar Collatz en 1937, est une fonction applicable à tout entier positif , définie : soit par : si est pair, s'il est impair ; soit comme la fonction précédente appliquée récursivement tant que le résultat n'est pas égal à .
Dans sa version la fonction ne peut donner comme résultat que , mais elle pourrait tourner indéfiniment sans renvoyer de résultat (on n'en connaît cependant aucun exemple, voir ci-dessous).
Suite de Collatz On appelle suite de Collatz une suite de nombres générée par la fonction de Collatz ( version) appliquée récursivement à partir d'un nombre initial (« graine »).
Exemples Si , la suite est périodique : Si , la suite devient périodique (une fois qu'on a atteint ) : Si , la suite comporte successifs sans régularité apparente, dont le plus grand est et le dernier , ensuite elle est périodique comme les précédentes.
Conjecture de Collatz
La conjecture de Collatz, ou conjecture de Syracuse, énonce qu'une suite de Collatz passe toujours par Autrement dit, la conjecture est que la fonction de Collatz ( version) donne toujours le résultat au bout d'un nombre fini d'opérations.. Elle a été vérifiée pour toutes les graines inférieures à environ 10 et démontrée pour « presque tous »Le nombre des entiers inférieurs à qui vérifient la conjecture est équivalent à quand , c'est-à-dire que . les entiers., mais en 2025 on ne sait toujours pas si elle est vraie, fausse ou indécidable..
Notes et références Notes
Références
Voir aussi Conjecture de Syracuse Lothar Collatz
Catégorie:Arithmétique élémentaire Catégorie:Fonction arithmétique